§8-3 用积分法求梁的挠度和转角

§8-3 用积分法求梁的挠度和转角 梁的挠曲线近似微分方程：

d y dx2

2

M ( x) EI

EI

d y dx2

2

M ( x)

EIy M (x)

积分一次得转角方程为：

dy dx

M ( x) EI

dx C

再积分一次得挠度方程为： M ( x) y dx dx C x D EI

§8-3 用积分法求梁的挠度和转角梁截面的已知位移条件或位移约束条件，称为梁位移的边界条件。 积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。

位移边界条件~

光滑连续条件~ ~

A

A

~

~

A

A A A

~

~ ~

~

~

~

~

A

yA 0

yA 0

yA

y AL y ARAL

~

y AL y AR

A 0

- 弹簧变形

AR

~

~

A

A A AA

A

A A AA

~ ~

~

~

A

AA

A

A A

A AA

A

~

§8-3 用积分法求梁的挠度和转角 外伸梁，承受集中载荷作用，试绘制挠曲线的大致形状图。 设弯矩刚度EI为常数。

§8-3 用积分法求梁的挠度和转角

解：1、绘制挠曲线的基本依据1

( x)

y

M ( x) EI z

根据弯矩的正、负、零值点或零值区，确定挠曲线的凹、 凸、拐点或直线区。 在梁的被约束处，应满足位移边界条件；在分段处，则 应满足位移连续条件。 2、画挠曲线的大致形状图AD段的弯矩为正，DC段的弯矩为负，横截面D的弯矩为零，其横坐标

为XD=8a/5。

§8-3 用积分法求梁的挠度和转角AD段为凹曲线，DC段为凸曲线，D截面存在拐点。

在支座A、B处挠度为零。在梁的交界面与截面D处，挠曲线满足连续、光滑的条件。

§8-3 用积分法求梁的挠度和转角

§8-3 用积分法求梁的挠度和转角

解：1、写出x截面的弯矩方程M ( x) F (l x)

列挠曲线近似微分方程并积分EI d y dx2 2

M ( x) F (l x)

积分一次 dy dx F EI (lx x2

) C

2

再积分一次y F EI ( lx2

x

3

) Cx D

2

6

§8-3 用积分法求梁的挠度和转角

2、由位移边界条件确定积分常数

x 0,x 0,代入求解C 0,

A 0yA 0D 0

3、确定转角方程和挠度方程 F EI (lx x2

)

2

y

F EI

(

lx

2

x

3

)

2

63

4、确定最大转角和最大挠度x l,

max

Fl

2

,

2 EI

ymax

Fl

3EI

§8-3 用积分法求梁的挠度和转角例8-2 一简支梁如图8-9所示，在全梁上受集度为q的均布载荷作用。试求 此梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角和最大挠度。 解： F F ql RA RB2M (x) EI y ql 2 ql 2 x 2

x q 2 q

q 2 x

x2

2

EI y EIy

ql 4ql 12

x x 3

x C3

6q 24 x Cx D4

由边界条件：x 0, y A 0 ; D 03

x l ,

yB 0 ;

C

ql 24

§8-3 用积分法求梁的挠度和转角例8-2 一简支梁如

图8-9所示，在全梁上受集度为q的均布载荷作用。试求 此梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角和最大挠度。x 0, y A 0 ; D 0

x l ,

yB 0 ;

C 4

ql 24

3

EIy ql 12

ql 12

x 33

q 24

x Cx D4

x

q 24

x 3

ql 242

3

x

y EI y

qx 24 EIql 4

( l 2 lxx 2

x )3

最大转角和最大挠度分别为：y max y 5 ql4

q 6

x 3

ql 24

3

x

l 2

384 EIql3

q 24 EI

( l 6 lx3

2

4x )3

max A B

24 EI