应用多元统计分析课后答案_朱建平版

第二章

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X (X1,X2, Xp) 的联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是X (X1,X2, Xp) 的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。 2.2设二维随机向量(X1

解：设(X1

X2) 服从二元正态分布，写出其联合分布。

12 12 ，则其联 2 ，协方差矩阵为 2 212

X2) 的均值向量为μ 1

合分布密度函数为

12

f(x) 2

21 2

2.3已知随机向量(X1

2

21

1/2

12 1 112

exp (x μ) (x μ) 。 2

2 21 2

X2) 的联合密度函数为

f(x1,x2)

2[(d c)(x1 a) (b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)]

22

(b a)(d c)

其中a x1 b，c x2 d。求

（1）随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量X1和X2的协方差和相关系数； （3）判断X1和X2是否相互独立。

（1）解：随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差；

fx1(x1)

d

c

2[(d c)(x1 a) (b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)]

dx 22

(b a)(d c)

d

2(d c)(x1 a)x2

(b a)2(d c)2

2(d c)(x1 a)x2

(b a)2(d c)2

cd

d

c

2[(b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)]

dx2 22

(b a)(d c)2[(b a)t 2(x1 a)t]

dt

(b a)2(d c)2

c

d c

2(d c)(x1 a)x2

(b a)2(d c)2

所以

d

c

[(b a)t2 2(x1 a)t2]

(b a)2(d c)2

d c

1 b a

b a 。 b a

由于X1服从均匀分布，则均值为，方差为

122

1

同理，由于X2服从均匀分布fx2(x2) d c

0

方差为

2

x1 c,d 其它

，则均值为

d c

，2

d c

12

2

。

（2）解：随机变量X1和X2的协方差和相关系数；

cov(x1,x2)

d

b

c

a b d c 2[(d c)(x1 a) (b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)] x x dx1dx21 2 22 a 22(b a)(d c)

(c d)(b a)

36cov(x1,x2)

x x

1

2

1 3

（3）解：判断X1和X2是否相互独立。

X1和X2由于f(x1,x2) fx1(x1)fx2(x2)，所以不独立。

2.4设X (X1,X2, Xp) 服从正态分布，已知其协方差矩阵 为对角阵，证明其分量是相互独立的随机变量。

解： 因为X (X1,X2, Xp) 的密度函数为

1/2 1 1

f(x1,...,xp) Σexp (x μ)Σ(x μ) 2 p

12

2

2 又由于Σ 2 p

22

Σ 12 2 p

1

2 1 Σ 1

1

2 2

1 2 p

则f(x1,...,x

p)

1 2 1 p

1 222 1/2 1

Σ

exp (x μ)Σ 12p

2

1

2

2

(x μ)

1 2 p

p222 11(xp p) 1(x1 1)1(x2 3)

exp ... p 12222

2 2 2 12p

i 1

p

(xi i)2

f(x1)...f(xp) 2

2 i

则其分量是相互独立。

2.5由于多元正态分布的数学期望向量和均方差矩阵的极大似然分别为

Xi μ

i 1n

n

(X )(X ) Σii

i 1

35650.00

12.33 μ

17325.00 152.50

201588000.0038900.0083722500.00

13.06716710.00 38900.00Σ

83722500.0016710.0036573750.00 -736800.00-35.800-199875.00 -736800.00

-35.80

-199875.00

16695.10

0 1

11

I 注：利用 p 1 X 1n, S X (In 1n1 其中 )Xnn nn

1 0

2.6 渐近无偏性、有效性和一致性；

2.7 设总体服从正态分布，X~Np(μ,Σ)，有样本X1,X2,...,Xn。由于是相互独立的正态分布随机向量之和，所以也服从正态分布。又

n

n n

E() E Xin E Xi μ μ

i 1 i 1 i 1

n 1

D() D Xin 2

i 1 n

所以~Np(μ,Σ)。

1

D Xi 2 ni 1

n

Σ n

i 1

n

Σ

n

1 2.8 方法1： Σ(Xi )(Xi ) n 1i 1

1n

XiX i n

n 1i 1

n

1 ) E(ΣE( XiX i n) n 1i 1

1 n

EXX nE ii n 1 i 1 1 nΣ 1

Σ n n 1(n 1)Σ Σ。 n 1 n i 1

方法2：S

n

(X

i 1i

n

i

-i-)

X-μ ( μ)X-μ ( μ)

i

i 1

(X-μ)(X-μ) 2 (X-μ)(-μ) n( μμ μ)

i

i

i

i 1

i 1

nn

(X-μ)(X-μ) 2n( μ μ) n( μ μ)

i

i

i 1n

n

(X-μ)(X-μ) n( μ μ)

i

i

i 1

S1 n E() E (Xi-μ)(Xi-μ) n( μ μ) n 1n 1 i 1 1 n

E(Xi-μ)X(i-μ )nE μ μ n 1 i 1

故

) Σ。

S

为Σ的无偏估计。 n 1

2.9.设X(1),X(2),...,X(n)是从多元正态分布X~Np(μ,Σ)抽出的一个简单随机样本，试求S的分布。

证明： 设

Γ

******

* *

* ( ij)为一正交矩阵，即Γ Γ I。 X2 Xn Γ ，

令Ζ=(Ζ1

Ζ2 Ζn)= X1

由于Xi(i 1,2,3,4, n)独立同正态分布,且Γ为正交矩阵

所以 ( 1

2 n)独立同正态分布。且有

E

(Ζa) E( rajΧj)

j 1nn

(a 1,2,3, ,n 1)

raj

j 1

n

raj

rnj 0 i 1

n

Var(Ζa) Var( rajΧj)

j 1

n

r2

n

ajVar Χr2

j Σ aj Σ

j 1

j 1

所以Ζ1Ζ2 Ζn 1独立同N(0,Σ)分布。

n

又因为S

(X

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