高数下册复习资料1

i

叉乘（向量积） c absin a b axc a b b

x

jk

ayaz bybz

向量a在非零向量b上的投影 prjba

acos(ab)

ab ab aba b

prjba

b一般式 点向式

A1x B1y C1z D1 0

A2x B2y C2z D2 0

一般式 点法式

Ax By Cz D 0 A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0 x x1

y y1y2 y1y3 y1

z z1

z2 z1 0 z3 z1

三点式

x2 x1x3 x1

参数式

x x0y y0z z0

mnp

x x0 mt

y y0 nt z z pt

0 x x0y y0z z0

x1 x0y1 y0z1 z0m1m2 n1n2 p1p2 0

m1n1p 1 m2n2p2

截距式 面面垂直 面面平行 线面垂直

xyz

1 abc

A1A2 B1B2 C1C2 0

A1B1C1

A2B2C2ABC mnp

两点式 线线垂直 线线平行 线面平行

Am Bn Cp 0

点面距离

M0(x0,y0,z0) Ax By Cz D 0 面面距离

Ax By Cz D1 0 Ax By Cz D2 0

d

Ax0 By0 Cz0 D

A B C

2

2

2

d

面面夹角

n1 {A1,B1,C1}n2 {A2,B2,C2} cos

|A1A2 B1B2 C1C2|A1 B1 C1 A2 B2 C2

2

2

2

2

2

2

线线夹角

s1 {m1,n1,p1} s2 {m2,n2,p2}

m1m2 n1n2 p1p2

222

m12 n12 p12 m2 n2 p2

线面夹角

s {m,n,p} n {A,B,C}

Am Bn CpA2 B2 C2 m2 n2 p2

cos sin

x (t)，

切向量 y (t)，

z (t)，T ( (t), (t), (t))

法平“面”方程： 000

( t ) (t0)(x x0) (t0)(y y0) (t0)(z z0) 0

切“线”方程：

切向量 y (x)

z (x)T (1, (x), (x))

切“线”方程：

x x0y y0z z0

(t0) (t0) (t0)

空间曲线 ：

x x0y y0z z0

1 (x0) (x0)

法平“面”方程：

(x x0) (x0)(y y0) (x0)(z z0) 0

- 2 -

法向量

F(x,y,z) 0

空间曲面 ：

n (Fx(x0,y0,z0),

Fy(x0,y0,z0), Fz(x0,y0,z0))

n ( fx(x0,y0),

fy(x0,y0),1)

切平“面”方程：

Fx(x0,y0,z0)(x x0) Fx(x0,y0,z0)(y y0)

Fx(x0,y0,z0)(z z0) 0

法“线“方程：

x x0y y0z z0

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

切平“面”方程：

fx(x0,y0)(x x0) fy(x0,y0)(y y0) (z z0) 0

z f(x,y) 或

n (fx(x0,y0),

fy(x0,y0), 1)

法“线“方程：

x x0y y0z z0

fx(x0,y0)fy(x0,y0) 1

重积分

（2）利用极坐标系 使用原则

(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含(x y),

2

2

为实数 )

P147—例5

f( cos , sin ) d d

D

d

2( )

1( )

f( cos , sin ) d

0 2 0 2

（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性

当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）

0

I 2 f(x,y)dxdy

D1

计算步骤及注意事项

f(x,y)对于x是奇函数，即f( x,y) f(x,y)f(x,y)对于x是偶函数， 即f( x,y) f(x,y)D1是D的右半部分

P141—例2

应用该性质更方便

1． 画出积分区域

2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数

关于坐标变量易分离

- 3 -

3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性

(1) 利用直角坐标 投影法 截面法

f(x,y,z)dV y投影

2(x)

dy(x,y)

b

a

dx

y1(x)

z2z1(x,y)

f(x,y,z)dz

x rcos （1） 利用柱面坐标

y rsin

z z三重积分

相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 I

f(x,y,z)dv

适用范围:

○

1

积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 ○

2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如f(x2

y2

)f(x2

z2

) b

r

2( )

空间立体物的

f(x,y,z)dV

a

dz

d

r , sin ,z) d

1( )

f( cos质量 x cos rsin cos

（3）利用球面坐标

y sin rsin sin

质量=密度

z rcos 面积

dv r2sin drd d

适用范围:

○

1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. ○

2被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，f(x2

y2

z2

) I 2d 2d 2( , )

, sin sin , cos ) 2sin d

1

1

1( , )

f( sin cos（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性

曲线积分与曲面积分

积分类型

计算方法

参数法（转化为定积分） 第一类曲线积分

（1）

I f(x,y)dsL:y (x) I

f( (t), (t))'2(t) '2(t)dt

L

曲形构件的质量 （2）L: x (t)

( t ) I

b

f(x,y(x)) y'2

(x)dx 质量=线密度

y (t)a弧长

（3）r r( )( )L:

x r( )cos y r( )sin

I

f(r( )cos ,r( )sin )r2( ) r'2( )d

- 4 -

P159—例1

P160—例2

P161—例3

P165—10-(1)

典型例题P189-例1

P190－3

（1） 参数法（转化为定积分） L: x (t) (t)

(t单调地从 y 到 )

L

Pdx Qdy

{P[ (t), (t)] (t) Q[ (t), (t)] (t)}dt

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