D7_8常系数非齐次线性微分方程

第七章 第八节 常系数非齐次线性微分方程

一、 f ( x) e x Pm ( x) 型 二、 f ( x) e x [ Pl ( x) cos x ~ Pn ( x) sin x] 型

二阶常系数线性非齐次微分方程 :

y p y q y f ( x) ( p, q 为常数 )根据解的结构定理 , 其通解为

①

y Y y*齐次方程通解 非齐次方程特解求特解的方法 — 待定系数法

根据 f (x) 的特殊形式 ,

的待定形式,

代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .

一、 f ( x) e

x

Pm ( x) 型

为实数 , Pm ( x) 为 m 次多项式 . 设特解为 y* e x Q ( x) , 其中 Q ( x ) 为待定多项式 ,

y* e x [ Q ( x) Q ( x) ] y* e x [ 2 Q ( x) 2 Q ( x) Q ( x) ]代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根,则取

y p y q y f ( x) Q (x )x 为 m 次待定系数多项式 2 从而得到特解 e [ Q ( x) ( 2 p ) Q ( x) ( p q ) Q ( x) ] x 形式为 y* e Qm ( x) . x e Pm ( x)

Q ( x)

( 2 p q ) Q ( x) Pm ( x)

(2) 若 是特征方程的单根 , 即 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 即

2 p 0 ,2 x 是 m 次多项式 , 故特解形式为 y* x Qm ( x) e 则 Q ( x)

小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 y* x k Qm ( x) e x (k 0, 1, 2)

此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .

例1.解: 本题 0 , 而特征方程为

的一个特解.

0 不是特征方程的根 .设所求特解为 代入方程 :

比较系数, 得

1 b0 1 , b1 3于是所求特解为

例2. 的通解. 解: 本题 2 , 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为

对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为

y* x ( b0 x b1 ) e 2 x1 b0 , b1 1 2

代入方程得 2 b0 x b1 2 b0 x 比较系数, 得2x 因此特解为 y* x ( 1 x 1) e . 2

所求通解为

1 ( 2

x2 x ) e2 x .

二、 f ( x) e分析思路:

x

~ Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x 型

第一步将 f (x) 转化为

f ( x) Pm ( x) e

( i ) x

Pm ( x) e

( i ) x

第二步 求出如下两个方程的特解( i ) x y p y q y Pm ( x) e

y p y q y Pm ( x) e ( i ) x第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点

第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形i x i x i x i x e e ~ f ( x) e Pl ( x) e e Pn ( x) 2i 2 ~ Pl ( x) Pn ( x) ( i ) x e 2i 2 ~ Pl ( x) Pn ( x) ( i ) x e 2i 2 令 m max n , l , 则

x

f ( x) Pm

( x) e ( i ) x Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e( i ) x

Pm ( x) e ( i ) x

第二步 求如下两方程的特解( i ) x y p y q y Pm ( x) e

② ③

y p y q y Pm ( x) e ( i ) x特解: 故

设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有 k ( i ) x (Qm ( x) 为m 次多项式 ) y1 x Qm ( x) e ( y1 ) p ( y1 ) q y1 Pm ( x) e ( i ) x

等式两边取共轭 :

( i ) x y1 p y1 q y1 Pm ( x) e 为方程 ③ 的特解 . 这说明 y1

第三步 求原方程的特解 ~ x 原方程 y p y q y e Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x

Pm ( x) ey* y1 y1 k x

( i ) x

Pm ( x) e ( i ) x

利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :

Qm (cos x i sin x) ~ x k e x Rm cos x Rm sin x ~ 其中 R m , R m 均为 m 次多项式 .

Qm e Qm e x k e x Qm (cos x i sin x) x ei x i x

第四步 分析 y 的特点

y

x e因

y1 y1 k x y1 y1

~ Rm cos x Rm sin x y1 y1

y

y1 y1

y*~ 均为 m 次实 所以 y 本质上为实函数 , 因此 Rm , R m多项式 .

小 结:对非齐次方程

~ y p y q y e x Pl ( x) cos x P n ( x ) sin x

( p, q 为常数 )

i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解:y* x e其中 上述结论也可推广到高阶方程的情形.k x

~ Rm cos x Rm sin x

例4. 的一个特解 . ~ 解: 本题 0, 2, Pl ( x) x, Pn ( x) 0, 特征方程 r2 1 0

不是特征方程的根, 故设特解为代入方程得

( 3 a x 3 b 4 c) cos 2 x (3 c x 3 d 4 a) sin 2 x x cos 2 x 3a 1 1 4 3b 4 c 0 a 3 , d 9 比较系数 , 得 3c 0 b c 0 3d 4 a 0于是求得一个特解

例5. 解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为对应齐次方程的通解为

的通解.

为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 代入方程:

6 b cos 3 x 6a sin 3 x

比较系数, 得 因此特解为 y* x ( 5 cos 3x 3 sin 3x )

所求通解为

x ( 5 cos 3x 3 sin 3x )

例6. 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:

(2) y

( 4)

x y x e 3 sin x

解: (1) 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为

(2) 特征方程 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为

有根

x ( d cos x k sin x )

内容小结 x 1. y p y q y Pm ( x) e

为特征方程的 k (=0, 1, 2) 重根, 则设

特解为

y* x Qm ( x) e x

k

x

~ 2. y p y q y e [ Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x]

i 为特征方程的 k (=0, 1 )重根, 则设特解为~ y* x e [ Rm ( x) cos x Rm ( x) sin x]k

x

3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.