22.2.3一元二次方程的解法-因式分解法

发布时间：2021-06-06

一元二次

第22章一元二次方程章

22.2.3 因式分解法

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回顾与复习 1

1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? X2=a (a≥0) 直接开平方法 (x+m)2=n (n≥0) 配方法

( 公式法 2.什么叫分解因式? 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.2

b ± b 4ac 2 x= . b 4ac ≥ 0 . 2a

)

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活动1 活动1解下列方程，解下列方程，从中你能发现什么新的方法？新的方法？ (1)2x2-4x=0; ) = ; (2)x2-4=0. ) =

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活动1 活动1归纳：归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式的形式，乘积等于的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫作因别等于，从而实现降次这种解法叫作因式分解法. 式分解法

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心动

不如行动

你能解决这个问题吗

一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相这个数是几？你是怎样求出来的？等，这个数是几？你是怎样求出来的？小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 = 3x.小颖是这样解的:解: x2 3x = 0.3± 9 ∴x = . 2

小明是这样解的:解: 方程x2 = 3x两边都同时约去x, 得 . ∴x = 3.

∴这个数是0或 . 3小颖做得对吗?

∴这个数是3.小明做得对吗?

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心动

不如行动

你能解决这个问题吗

一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 = 3x.小亮是这样想的: Q0×3 = 0, 15×0 = 0, 0×0 = 0. 反来如 a b = 0, 过 , 果那 a = 0或 = 0 么 b 或 = b = 0. a 即如果两个因式的积等于0, ,那么这两个数至少有一个为 . 0

小亮是这样解的:解:由程 2 = 3x, 得方 x x2 3x = 0. ∴x(x 3) = 0. ∴x = 0,或x 3 = 0. ∴x1 = 0, x2 = 3. ∴这个数是0或 . 3小亮做得对吗?

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我思

我进步

分解因式法

当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.

老师提示:1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”

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例题欣赏

分解因式法

用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).解: (1).5x2 4x = 0, 分解因式法解一元二次方程的步骤是: x(5x 4) = 0. 1.化方程为一般形式; ∴x = 0,或 x 4 = 0. 5 2. 将方程左边因式分解; 4 ∴x1 = 0; x2 = . 3. 根据“至少有一个因式为 5 零”,转化为两个一元一次方程. (2).x 2 x(x 2) = 0, 4. 分别解两个一元一次 (x 2)(1 x) = 0. 方程，它们

的根就是原方程的根. ∴x 2 = 0,或 x = 0. 1

∴x1 = 2; x2 =1.

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学习是件很愉快的事

淘金者2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.

你能用分解因式法解下列方程吗？1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.

这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?

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动脑筋 1.解下列方程:

争先赛

(1).(x + 2)(x - 4) = 0, (2).4 x(2 x + 1) = 3(2 x + 1). 解 :(1)(x + 2) = 0,或(x - 4 = 0 ). .∴ x1 = 2; x2 = 4. (2).4 x(2x + 1) 3(2x + 1) = 0,

(2x + 1)(4x - 3) = 0,

∴ 2 x + 1 = 0, 或4 x 3 = 0. 1 3 ∴ x1 = , x2 = . 2 4

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想一想

先胜为快

一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.解：设这个数为x,根据题意,得设这个数为x,根据题意, 设这个数为x,根据题意 2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0, x(2x∴x=0,或2x-7=0.

7 ∴ x1 = 0, x2 = . 2

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10 .2( x + 3) = x 9

,用分解因式法解下列方程参考答案：参考答案： x 2 + (5 2 ) x 5 2 = 0 ; 1. (1).x1 = 5; x2 = 2. x 2 + ( 3 5 ) x 15 = 0 ; (2).x1 = 5; x2 = 3. 2. (3).x1 = 3; x2 = 2. 3.x 2 (3 + 2 ) x + 18 = 0; 1 4 2 (4).x1 = ; x2 = . 4. (4x + 2) = x(2x +1) 2 5 7 (5).x1 = 2; x2 = . 5.3 x ( x + 2) = 5( x + 2); ; 4 3 2 (6).x1 = 2; x2 = . 6.(3 x + 1) 5 = 0; 3 (7).x1 = 3, x2 = 6. 2 7.2( x + 3) = x ( x + 3); (8).x1 = 0; x2 =1. 8.( x + 1) 2 3( x + 1) + 2 = 0; (9).x1 = 3, x2 = 9. 2 9.x + 12 x + 27 = 0; 1 3 (10).x1 = ; x2 = . 2 2

我最棒

(

)

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开启

智慧

二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解

我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2; x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3);L但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?

4x2 12x + 9 = ?.

3x2 + 7x + 4 = ?L.

观察下列各式,也许你能发现些什么

解方程: x2 7x + 6 = 0得x1 =1, x2 = 6; 而x2 7x + 6 = (x 1)(x 6);解方程: x2 + 2x 3 = 0得x1 = 3, x2 =1 而x2 + 2x 3 = (x + 3)(x 1); ; 3 3 而4x2 12x + 9 = 4(x 3)(x 3 2 解方程: 4x 12x + 9 = 0得x1 = , x2 = ; 2 2 2 2 4 4 2 2 解方程: 3x + 7x + 4 = 0得x1 = , x2 = 1; 而 x + 7x + 4 = 3(x + )(x +1); 3 3 3 看出了点什么?有没有规律?

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智慧

一般地,要在实数范围内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o),的两个根x1,x2,然后直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了. 即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).

二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解

(1).x2 7; (2).3y2 y 14. 解: (1).Q一二方元次程解: (2).Q一元二次方程x2 7 = 0 的个是 1 = 7, x2 = 7. 两根 x3y2 y 14 = 0 7 的两个根是y1 = 2, y2 = . 3 7 2 ∴3y y 14 = 3( y + 2)( y ). 3

把下列各式分解因式:

∴x2 7 = (x 7)(x + 7).

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小结

拓展

回味无穷

当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法. 分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零.” 因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)化方程为一般形式; (2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程. (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.

因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.

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独立作业

知识的升华1、P62习题2.7 1,2题;

祝你成功！

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独立作业2.3 x ( x 1) = 2 2 x;4.2( x 3)2 = x2 9;

解下列方程参考答案：参考答案：1 7 (1).x1 = ; x2 = . 42 5 (2).x1 = ; x2 =1. 3 3 1 (3).x1 = ; x2 = . 2 2 (4).x1 = 3; x2 = 9.

1.(4 x 1)(5 x + 7 ) = 0;

3.( 2 x + 3) 2 = 4( 2 x + 3);

5.5( x 2 x ) = 3( x 2 + x ); 2 2 6.( x 2) = (2 x + 3) ; 7.( x 2)( x 3) = 12; 8.x 2 5 2 x + 8 = 0.

(5).x1 = 0; x2 = 4. 1 (6).x1 = 5; x2 = . 3 (7).x1 = 1, x2 = 6. (8).x1 = 4 2; x2 = 2.