高中数学数列基础知识

高考要点回扣

第5讲

5

数

列

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1.数列的概念 (1)数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的 特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式.如(1)已知 an= 1 n * (n∈N ),则数列{an}的最大的项的值为 25 . n2+156 (2)前 n 项和 n=1 S1 Sn=a1+a2+a3+…+an,an= Sn-Sn-1 n≥2

.

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第5讲

2.等差数列的有关概念 (1)等差数列的判断方法：定义法 an+1-an=d(d 为常数)或 an+1-an=an

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-an-1(n≥2). (2)等差数列的通项：an=a1+(n-1)d 或 an=am+(n-m)d. n a1+an n n-1 (3)等差数列的前 n 项和：Sn= ,Sn=na1+ d. 2 2 (4)等差中项：若 a,A,b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且 a+b A= . 2

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第5讲

3.等差数列的性质 (1)当公差 d≠0 时， 等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d=dn+a1-d 是 n n-1 d 2 关于 n 的一次函数， 且斜率为公差 d; 前 n 项和 Sn=na1+ d= n 2 2 d +(a1- )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 (2)若公差 d>0,则为递增等差数列；若公差 d<0,则为递减等差数列； 若公差 d=0,则为常数列. (3)当 m+n=p+q 时，则有 am+an=ap+aq,特别地，当 m+n=2p 时， 则有 am+an=2ap.

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4.等比数列的有关概念 an+1 (1)等比数列的判断方法：定义法 a =q(q 为常数),其中 q≠0,an≠0 n an+1 an 或a = (n≥2).如一个等比数列{an}共有 2n+1 项，奇数项之积为 an-1 n 5 100,偶数项之积为 120,则 an+1=-

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6-m

. .

(2)等比数列的通项：an=a1qn 1 或 an=amqn

a1 1-qn (3)等比数列的前 n 项和： 当 q=1 时， Sn=na1; 当 q≠1 时， Sn= 1-q a1-anq = . 1-q

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易错警示：由于等比数列前 n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列 前 n 项和时，首先要判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式 的形式，当不能判断公比 q 是否为 1 时，要对 q 分 q=1 和 q≠1 两种情 形讨论求解.(4)等比中项： 若 a, A, b 成等比数列， 那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项. 值 得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中 项，且有两个，即为± ab.如已知两个正数 a,b(a≠b)的等差中项为 A, 等比中项为 B,则 A 与 B 的大小关系为

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A>B .

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5.等比数列的性质 当 m+n=p+q 时，则有 am· an=ap· aq,特别地，当 m+n=2p 时，则有

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2 am· an=ap .如

①在等比数列{an}中，a3+a8=124,a4a7=-512,公比 q 是整数

,则 a10 =

512

. .

②各项均为正数的等比数列{an}中，若 a5· a6=9,则 log3a1+log3a2+…+

10 log3a10=____

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6.数列求和的方法 (1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；

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(2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法. 1 1 1 1 1 1 1 如： =n- ; =k n-n+k . n n+1 n+1 n n+k

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1.(2012· 重庆)在等差数列{an}中，a2=1,a4=5,则{an}的前 5 项和 S5 等于

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( A.7解析

B )

B.15

C.20

D.25

利用等差数列的性质求解.

∵{an}是等差数列， ∴a2+a4=2a3=1+5,5 a1+a5 5×2a3 ∴a3=3,∴S5= = 2 =5a3=5×3=15. 2

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2. (2012· 福建)等差数列{an}中， a1+a5=10, a4=7, 则数列{an}的公差为( A.1 B. 2 C.3 D.4

B )

解析 方法一 利用基本量法求解.

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设等差数列{an}的公差为 a1=1, 解得 d=2.

2a1+4d=10, d,由题意得 a1+3d=7.

∴d=2.

方法二

利用等差数列的性质求解.

∵在等差数列{an}中，a1+a5=2a3=10,∴a3=5. 又 a4=7,∴公差 d=7-5=2.

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3.等差数列{an}的通项公式是 an=1-2n,其前 n 项和为 前 11 项和为

Sn Sn,则数列 n 的

( B.-50 C.-55 D.-66

D )

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A.-45解析

由等差数列{an}的通项公式得 a1=-1,

n a1+an n -1+1-2n Sn 2 所以其前 n 项和 Sn= = =-n ,则 n =-n. 2 2 Sn 所以数列 n 是首项为-1,公差为-1

的等差数列，

所以其前 11 项的和为 11×(-1)+

11×10 2 ×(-1)=-66.

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4.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24, 则 k 等于 ( B. 7 D.5∵Sk+2-Sk =ak+ 1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+(2k+1)d=

D )

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A.8 C.6解析

2×1+(2k+1)×2=4k+4=24, ∴k=5.

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5. 已知{an}为等差数列， a1+a3+a5=105, a2+a4+a6=99, 则 a20 等于(

B )

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A.-1解析

B. 1

C.3

D.7

由已知得 a1+a3+a5=3a3=105,

a2+a4+a6=3a4=99,∴a3=35,a4=33,∴d=-2.∴a20=a3+17d=35+(-2)×17=1.

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6.在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120,则 2a9-a10 的值为

(

C )

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A.20解析

B.22

C.24

D.-8

∵a1+3a8+a15=5a8=120,∴a8=24.

∴2a9-a10=2(a8+d)-(a8+2d)=a8=24.

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7.(2012· 浙江)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项

和为 Sn,若 S2=3a2 3 +2,S4=3a4+2,则 q=________. 2解析 利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式求解.S4=S2+a3+a4=3a2+2+a3+a4=3a4+2, 方法一 …… 此处隐藏：1699字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……