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无穷小量的比较引 两个无穷小量的和、差与乘积仍是无穷小量， 两个无穷小量的和、差与乘积仍是无穷小量， 但是两个无穷小量的商，会出现什么情况？ 但是两个无穷小量的商，会出现什么情况？ 一、无穷小量的比较 二、等价无穷小量代换

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一、无穷小量的比较 观察下列极限 当 x →0时, 3x, x2, sinx都是无穷小, 3x sinx都是无穷小,x2 lim = 0, x→0 3 xsin x = 1, lim x→0 x

3x lim 2 = ∞, x →0 x

上述极限中, 分子、分母都是无穷小, 上述极限中, 分子、分母都是无穷小, 但不同比的 极限各不相同, 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢” 极限各不相同, 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢” 程度.下面给出无穷小量比较的几个概念 程度.下面给出无穷小量比较的几个概念. 给出无穷小量比较的几个概念.

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定义1 定义1 设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小, 是自变量同一变化过程中的无穷小,

β (1)若 lim = 0 , 则称 β 是比 α 高阶的无穷小, 记作 高阶的无穷小, α β = o(α ) β 低阶的无穷小 (2)若 lim = ∞ , 则称 β 是比 α 低阶的无穷小; α β 同阶无穷小; (3)若 lim = C ≠ 0 , 则称 β 是 α 的同阶无穷小; α β 若 lim = 1, 则称 β 是 α 的等价无穷小, 记作 α ~ β 等价无穷小, α 或 β ~αβ 阶无穷小. (4)若 lim k = C ≠ 0 , (k > 0) 则称 β 是 α 的k阶无穷小. α

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例如 , 当 x → 0 时

x 3 = o( 6x 2 ) ; sin x ~ x ; tan x ~ x arcsin x ~x又如 ，

1 cos x lim = 2 x →0 x故 时

2 x 2 sin 2 lim 2 x → 0 4( x ) 2

1 = 2

是关于 x 的二阶无穷小, 且 的二阶无穷小,

1 cosx

1 x2 ~ 2

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例 1. 求 解: 原式 例2. 求 解: 令 t = a 1, 则 x = log a (1 + t ) , t 原式 = lim t → 0 log a (1 + t )x

ln(1 + x) ~ x ex 1 ~ x

说明: 说明: 当

时, 有

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例3. 证明: 当 证明: 证:

时,

~

(a n 1 + a n 2b + + b n 1 ) a b = ( a b)n n

1 n 1+ x 1 ~ x n

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常用的等价无穷小： 常用的等价无穷小：当x →0时

sin x ~ x , arcsin x ~ x,

tan x ~ x, arctan x ~ x,1 2 1 cos x ~ x , 2

α22

x2

ln(1 + x ) ~ x ,

x log a (1 + x) ~ , ln a

e 1 ~ x,xn

a 1 ~ x ln ax

1 1 + x - 1 ~ x, n

(1 + x) - 1 ~ a x.

a

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一般形式

如 ln(1 + f ( x)) ~ f ( x) ( f ( x) → 0)其他公式类似

如 x→0 a

sin x

1 ~ sin x ln a3

x6 x → 0, 1 cos x ~ 2 x → 0时，5

1 (3 x3 + 2 x2) 1 + 3x + 2x 1 ~ 53 2

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二、等价无穷小量代换 定理1 在自变量的同一变化过程中, 定理1 在自变量的同一变化过程中, α ～α ′, β ～ β ′,

β β′ β′ 存在， 且 lim 存在，则 lim = lim . α α′ α′证

β β β ′ α′ lim = lim( ) α β ′ α′ αβ β′ α′ = lim lim lim β′ α′ α

β′ = lim α′

.

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sin x . 例4 求 lim x→0 tan 2 x解 因为当 x

→ 0时, sin x ~ x, tan 2 x ~ 2 x, 所以

x 1 sin x lim = lim = . x →0 tan 2 x x →0 2 x 2

tan x . 例5 求 lim 2 x →0 x + 3 x解

tan x x 1 lim 2 = lim 2 = . x →0 x + 3 x x →0 x + 3 x 3

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tan x sin x . 例6 求 lim 3 x →0 x 1 2 解 x → 0时,1 cos x ~ x , 2

x x 原式 = lim 3 x →0 x

tan x (1 cos x ) tan x sin x = lim 故 lim 3 3 x →0 x →0 x x 1 2 x x 1 2 = . = lim 3 x →0 2 x注意：等价无穷小替换忌“加减” 注意：等价无穷小替换忌“加减”。即对于代数和 无穷小不能分别替换。 各 无穷小不能分别替换。

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(1 + 1 例7. 求 lim . x →0 cos x 1解:

1 2 3 x )

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例9

(1 cos x2)(2x 1) lim x →0 ln(1 + x 2) sin x 3

x x ln 2 = lim 2 2 3 = ln 2 . x →0 x x 2

4

e x esin x 10. 例10. 求 I = lim . x→0 x sin xe x sin x 1 解: I = lim esin x . =1 x →0 x sin x

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例8. 求

解

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作业 P57 3, 4

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例11. I = lim

x ln(1 + 2 x ) + tan 3 x 2 1+ x x 12 3

x →0

1 1+ u 1 ~ u 2

x ln (1 + 2 x ) + tan 3 x 解 I = 2 lim 2 3 x →0 x x

2

ln(1 + 2 x ) ~ 2 x

tan 3 x ~ 3 x2

2

2

x ln (1 + 2 x ) tan 3 x = 2 lim[ 2 + 2 ] 3 3 x →0 x x x x

2x 3x 2 3 = 2 lim[ 2 + 2 ] + ] 3 3 = 2 lim[ x →0 x x x →0 1 x x x 1 x

2

2

= 2(2 + 3) = 10

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( x 1)(3 x 1) (n x 1) 例12 lim n 1 x →1 ( x 1)令x = 1 + t

( 1 + t 1)(3 1 + t 1) (n 1 + t 1) === lim t →0 t n 1 t t t = lim 2 3n 1 n t →0 t

= 1. n!