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第二节 函数的求导法则一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题

第二章

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导数概念的回顾f ( x + x ) f ( x ) 1、导数的定义 f ′( x ) = lim 、 x → 0 x2、导数几何意义

f ′( x0 )表示曲线 y = f ( x )在点 M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率。3、求导公式

(C )′ = 0 (sin x )′ = cos x(cos x )′ = sin x2

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( x )′ = µx ( µ ∈ R ) .µ 1

µ

( a )′ = a lna.x

x

( e )′ = e .x

x

1 . (log a x )′ = x ln a 1 (ln x )′ = . x3

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左右导数f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 + x ) f ( x0 ) = lim ; 1.左导数 左导数: 1.左导数: f ′( x0 ) = xlim x →0 x → x0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 + x ) f ( x0 ) = lim ; 2.右导数: f +′( x0 ) = xlim 右导数: 2.右导数 →x x → 0 x x0 x

+ 0

+

y y y lim 存在 lim+ = lim x → 0 x x → 0 x x → 0 x★f 结论： 结论： ′(x ) 存在 f ′( x0 )= f+′( x0 )0

函数可导一定连续，但连续不一定可导; 函数可导一定连续，但连续不一定可导;4

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一、四则运算求导法则定理1. 定理1. 的和、 积、 (除分母 差、 商 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且

(v(x) ≠ 0)5

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证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有f (x + h) f (x) u(x + h)v(x + h) u(x)v(x) ′(x) = lim f = lim h→0 h→0 h h

u(x + h) u(x) v(x + h) + u(x) v(x + h) v(x) = lim h→0 h h

= u′(x)v(x) + u(x)v′(x)推论: ) 推论: 1 ( Cu )′ = Cu′

故结论成立.

( C为常数 )

′ 1 ln x = ( x) 1 ln ′= 3) ( loga x )′ = xln a ln a ln a

2) ( uvw)′ = u′vw+ uv′w+ uvw′

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证: 设

u( x) f (x) = , 则有 v( x)

f (x + h) f (x) f ′(x) = lim = lim h→0 h→0 h

u(x + h) u(x) v(x + h) v(x)

h

v(x + h) v(x) u(x + h) u(x) v(x) u(x) h h = lim h→0

v(x + h)v(x)

u′(xuv(xv(xu(x) v′(x) ± ) (x)) ) = v2 (x) + h) u(x + h)v(x) u(x)v(x

故结论成立.7

h v(x 推论: + h)v(x) 推论:

(

1 ′ v′ )= 2 v v

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例1 解

求 y = x 2x + sin x + cos 的导数. 5 ′ = 3x 2 4 x + cos x . y3 2

π

例2 求 y = sin 2x ln x 的导数 . 解： 因为

y = 2 sin x cos x ln x

所以 y ′ = 2 cos x cos x ln x + 2 sin x ( sin x ) ln x

1 + 2 sin x cos x x1 = 2 cos 2 x ln x + sin 2 x. x8

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′ sin x (sin x)′ cos x sin x (cos x)′ 证: (tan x)′ = = cos 2 x cos x

例3. 求证

1 cos 2 x + sin2 x = = sec2 x = 2 2 cos x cos x ′ 1 (sin x)′ cos x = (cscx)′ = = 2 sin x sin x sin2 x 1 cos x = csc xcot x = sin x sin x类似可证: (cot x)′ = csc2 x , (sec x)′ = sec x tan x .9

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例4解：

1 t , 求 f ′(4). 已知 f (t ) = 1+ t因为f ′(t ) = 1 2 t (1 + t ) (1 t )

(1 + t ) 2 1 2 t

所以

1 f ′( 4) = 18

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x<0 x, 例5 设 f (x) = , 求 f ′(x). ln(1+ x), x ≥ 0, 解 当x < 0时

f ′( x) = 1,f (0) = 0,

1 f ′(x) = 1+ x x 0 ′ = = 1 f-(0) lim x→0 x ln(1+ x) 0 ′ = f+(0) lim = 1 x→0 x

当 > 0时 x ,

所以

于是

f ′(0) = 1.

x ≤0 1, f ′( x) = 1 . , x >0 1+ x 11

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二、反函数的导数连续函数的性质： 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 问题： 问题：可导函数的反函数是否为可导函数？

定理 设y = f (x)为x = ( y) 的反函数,如果x = ( y)在 某 间I y内 调 可 , 且 ′( y) ≠ 0 , 那 它 反 数 区 单 、 导 末 的 函y = f (x) 在 应 间Ix = {x x = ( y), y ∈ I y} 也 导, 对 区 内 可 且 有 1 f ′(x) = . ′( y)12

反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数

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证 由于x = ( y )在I y内单调、可导， 从而单调、连续，

所以其反函数y = f ( x )在对应区间I x内也单调、连续，给x以增量 x( x ≠ 0)由y = f (x )的单调性可知 y ≠ 0, ,于是有 y 1 = , x x y

因为f ( x )连续, 所以 y → 0

( x → 0),

又知 ′( y ) ≠ 0所以1 y 1 = lim f ′( x ) = lim = y →0 x x → 0 x ′( y ) y

即

1 f ′( x ) = . ′( y )

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例1

求函数 y = arcsin x 的导数 .

2 2 且 (sin y )′ = cos y > 0, 所以 在 ( 1,1)内有

解 因为 x = sin y在 ( π , π )内单调、可导 ,

1 1 1 1 = = (arcsin x )′ = = 2 (sin y )′ cos y 1 sin y 1 x2

(arcsin x )′ =同理可得(arccos x)′ =

1 1 x21 1 x2

.14

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例2 y = arctan x , 求 y′. 解：因为y = arctan x的反函数为 x = tan y ,且在(

π π

1 1 由公式知 (arctan x )′ = = ′ sec 2 y (tan y )

, )上单调、可导， (tan y )′ = sec 2 y ≠ 0, 上单调、可导， 2 2

而 sec y = 1 + tan y = 1 + x2 2

2

所以 同理可得

1 (arctan x)′ = ; 2 1+ x 1 ( arccot x)′ = . 2 1+ x

15 15

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例3 设 y = ax (a > 0 , a ≠ 1) , 则 x = loga y , y ∈( 0 , + ∞)

1 = = (loga y)′

1 = yln a 1 yln a

特别当 a = e 时, ( ex )′ = ex 小结: 小结

( arcsin x)′ = ( arctan x)′ =(a )′ = a ln ax x

( arccos x)′ = ( arccot x)′ =( ex )′ = ex16

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三、复合函数的求导法则如 y = sin 2 x 是 y = sin u和u = 2 x的复合函数。(sin 2 x )′ = cos 2 x ? 由两函数相乘的求导法则

dy = (sin 2 x )′ = ( 2 sin x cos x )′ dx所以

= 2[cos x cos x sin x sin x ] = 2 cos 2 x(sin 2 x )′ ≠ cos 2 x

dy du 另一方面 = ( 2 x )′ = 2 = (sin u )′= cos u = cos 2 x dx du dy du 因此 = 2 cos 2 x 复合函数的导数等 du dx 于其组成的简单函数 dy dy du 结论 17 17 = = 2 cos 2 x 导数的乘积 dx du dx

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定理 如果函数u = (x)在点x可导, 而y = f (u) 在点u可导, 则复合函数 y = f [ (x)]在点x可

导 , 且其导数为 dy dy du = = f ′(u) ′(x). dx du dx函数对自变量求导,等于函数先对中间变量 即 函数对自变量求导 等于函数先对中间变量 求导,再乘以中间变量对自变量求导 链式法则) 再乘以中间变量对自变量求导.(链式法则 求导 再乘以中间变量对自变量求导 链式法则

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y 证 由y = f (u )在点u可导 , 所以 lim = f ′(u) u →0 u y 故 = f ′(u ) + α ( lim α = 0) u →0 u

则所以

y = f ′(u ) u + α u y u u lim = lim[ f ′(u ) +α ] x →0 x x → 0 x x u u = f ′(u ) lim + lim α lim x →0 x x → 0 x →0 x

= f ′(u ) ′( x).19

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推广 设 y = f ( u), u = ( v ), v = ψ ( x ),

则复合函数 y = f { [ψ ( x )]}的导数为 dy dy du dv = . dx du dv dx例1 求函数 y = ln sin x 的导数. 解

因为 y = ln u, u = sin x.

dy dy du 1 cos x 所以 = = cos x = dx du dx u sin x

= cot x20

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例4

求函数 y = tan(1 + x ) 的导数.x

解： 因为y = tan u, u = 1 +

1 dy dy du 2 = sec u 所以 = 2 x dx du dx= 1 2 x sec 2 (1 + x )

21 21