3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义【人教A版】

3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

知识回顾

我们引入这样一个数i ,把i 叫做 虚数单位，并且规定：

i2 1;

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母C表示 .

对虚数单位i 的规定

(1)i2 1;(2)实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算

时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。 练习. 根据对虚数单位 i 的规定把下列运算的结果都化 为 a+bi(a、b R)的形式. 3(2+i)= 6+3i ; (3-i)i= 1+3i ;i = 0+i ; -5= -5+0i ;0= 0+0i ;2-i= 2+(-1)i .

1.复数的代数形式：

通常用字母 z 表示，即

z a bi (a R, b R)实部

虚部

其中

i 称为虚数单位。

2.复数的分类： 实数 b 0 复数z a bi 0, 0 a b 纯虚数 (a, b R) 虚数 b 0 b 0 非纯虚数 a 0,

3.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等， 那么我们就说这两个复数相等.

若a, b, c, d R,

a c a bi c di b da bi 0 a 0 且 b 02) 一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小了.

注：1)

复数z=a+bi

直角坐标系中的点Z(a,b)

平面向量 OZy

z=a+bi Z(a,b)a b

o

x

复数绝对值的几何意义 复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b) 到原点的距离。z=a+bi Z (a,b)O

y

x

| z | = |OZ| a2 b2

(复数z的模)

我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： a b b a ab ba (a b) c a (b c) (ab)c a(bc) a(b c) ab ac 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎 样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？

注意到 i 2 1 ,虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着， 只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！

1.复数加、减法的运算法则：已知两复数z1=a+bi, z2=c+di(a,b,c,d是实数)

(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).注:⑴复数的减法是加法的逆运算； ⑵易知复数的加法满足交换律、结合律, 即对任何 z1,z2,z3∈C,有

z1+z2=z2+z1,

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.

(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i

例1.计算 (5 6i) ( 2 i) (3 4i)

解:

(5 6 i ) ( 2 i ) (3 4 i ) (5 2 3) ( 6 1 4) i 11i

练习、计算(1) (1+3i)+(-4+2i)(2) (1-3i )+(2+5i) +(-4+9i)

(3) 已知(3-ai)-(b+4i)=2a-bi,求实数a、b的值。

我们知道,两

个向量的和满足平行四边形法则, 复 数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的 加法是否具有一致性呢？

1.复数加法运算的几何意义?

z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ符合向量加法 的平行四边形 法则.

yZ2(c,d)

Z(a+c,b+d)

Z1(a,b)

o

x

2.复数减法运算的几何意义? 复数z2-z1符合向量 减法的三 角形法则.

向量Z1Z2Z2(c,d)

y

Z1(a,b)

o|z1-z2|表示什么?

x

表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离

已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.

(1)|z-(1+2i)|

点A到点(1,2)的距离

(2)|z+(1+2i)|点A到点(-1, -2)的距离

(3)|z-1|点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|点A到点(0, -2)的距离

练习:已知复数m=2-3i,若复数z满足不等式|z-m|=1,则z所对应 的点的集合是什么图形?

以点(2, -3)为圆心,

1为半径的圆上