线面垂直经典习题

线面垂直及面面垂直

立体几何的垂直问题包括：线线垂直，线面垂直，面面垂直。

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，证明线线垂直一般有以下一些方法： 1、通过“平移”。 2、利用等腰三角形底边上的中线的性质。 3、利用勾股定理。 4、利用三角形全等或三角行相似。 5、 利用直径所对的圆周角是直角，等等。

基本题型归纳：

一、 通过“平移”,根据若a//b,且b 平面 ,则a 平面 1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=1

2

DC，E为PD中点.求证：AE⊥平面PDC.

2．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45求证：平面PCE⊥平面PCD；

3、如图所示，在四棱锥P ABCD中，

AB 平面PAD,AB//CD,PD AD,E是PB的中点，F是CD上的点，且DF

1

2

AB,PH为 PAD中AD

边上的高。（1）证明：PH 平面ABCD；（2）若PH 1，AD FC 1，求

三棱锥E BCF的体积；（3）证明：EF 平面PAB.

4.如图所示, 四棱锥

P ABCD

底面是直角梯形

BA AD,CD AD,CD 2AB,PA 底面ABCD,

E为PC的中点, PA＝AD。证明: BE 平面PDC;

二、利用等腰三角形底边上的中线的性质

5、在三棱锥P ABC中，AC BC 2， ACB 90，AP BP AB，PC AC．

（Ⅰ）求证：PC AB；（Ⅱ）求二面角B AP C的大小； P

A

B

C

6、如图，在三棱锥P ABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º证明：AB⊥PC

三、利用勾股定理

7、如图，四棱锥P ABCD的底面是边长为1的正方形，PA CD,PA 1,PD 求证:PA 平面ABCD；

_A

_D

_B

_C

8、如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB AD，且AB AD

1

2

CD 1． 现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC 平面BDE。

E

MC

F

M

C

A

B

图1 图2

9、如图，四面体ABCD中，O

、E分别是BD、BC的中点，

CA CB CD BD 2,AB AD 求证：AO 平面BCD

10、如图，四棱锥S ABCD中，AB BC

,BC CD，侧面SAB为等边三角形，

AB BC 2,CD SD 1．

（Ⅰ）证明：SD 平面SAB;

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的大小．

四、利用三角形全等或三角行相似

11．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点， 求证：D1O⊥平面MAC.

12．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点. 求证：AB1⊥平面A1BD；

13、.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，求证：A1C⊥平面BDE；

五、利用直径所对的圆周角是直角

14、AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.（1）求证：平面PAC⊥平面PBC； （2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.

15

、如图，在圆锥PO中，已知PO=⊙O的直径AB 2,C是弧AB的中点，D为AC的中点．证明：平面POD 平面PAC;

16、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交

PD

于点M．求证：平面ABM⊥平面PCD；