第六章 多自由度体系的微振动

金尚年版《理论力学》习题答案。

第六章 多自由度体系的微振动内容： ·振动概述 · 两个自由度保守系的自由振动难点： ·多自由度的自由振动

·n个自由度保守系的自由振动 · 简正坐标和简正振动 重点： · 两个自由度的自由振动

· 简正坐标 难点： 多自由度的自由振动

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振动现象在宏观的工程技术中和微观领域(如固体物理中的晶格、光学 中的分子振动光谱等)中普遍存在。本章讨论多自由度体系微振动的一般 处理方法和微振动在物理上的应用。

6.1 振动概述(1)振动的分类 按体系的能量变化情况可把振动分为自由振动(机械能守恒)、阻尼振 动(机械能不断转化为热能)和强迫振动(不断从外界获得能量)三类， 其运动微分方程是同一种类型的。按体系的自由度划分，振动分为单自由度振动、有限多自由度振动和无限自由 度振动三类。

按微分方程的类型，振动分为线性振动和非线性振动两类。

(2)线性振动概念凡力学体系在平衡位置附近作微振动(振幅很小),只考虑一级(最低 级)近似时，其运动微分方程为线性方程，这种振动都属于线性振动。

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(3)力学体系平衡位置的性质 平衡位置的三种情况：如图6.1所示

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(a)稳定平衡 如果在某一位置，保守系的势能有严格的极小值，则此位置是体系的稳 定平衡位置——保守系平衡位置稳定性拉格朗日定理，即dV dq 0, d V dq2 2

0

(自由度为1)

(6.1)

V V 0 q q 2 1 2 2 2V V V 2 ( ) 1 2 2 q1 q 2 q1 q 2 2 2V V 0, 0 2 q 2 q 2 1

(自由度为 2 )

(6.2)

(b)不稳定平衡势能在平衡位置取极大值时为不稳定平衡。

(c)随遇平衡 势能在平衡位置为常数时为随遇平衡。

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6.2 两个自由度保守系的自由振动 (1)拉格朗日方程 设体系的两个广义坐标为 x 1 、x 2 ,则体系的拉格朗日方程为 d dt d dt T x1 T x 2 T x1 T x1 V x1 V x 2 0

(6.1) 0

对于平衡位置附近的微振动、体系的约束是稳定的，动能必为广义速度的 二次齐次式，即T 1 2

i , j 1

2

A ij x i x

j

1 2

2 2 ( A 11 x 1 2 A 12 x 1 x 2 A 22 x 2 )

(6.2)

其中 A ij 是广义坐标的函数，且A ij ( x 1 , x 2 ) A iji ( x 1 , x 2 )

势能仅是广义坐标的函数V V ( x1 , x 2 )

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为了简化和近似，广义坐标零点取平衡位置上，将 V ( x 1 , x 2 ) 和T中的 A ij ( x 1 , x 2 ) 在平衡位置用泰勒级数展开V ( x 1 , x 2 ) V ( 0 ,0 ) V x i V2 j

(i 1

2

)0 x i

i , j 1

2

1

2 x i x

(

) 0 x i x j

(**)

(6.3)

A ij ( x 1 , x 2 ) A 0 ( 0 , 0 )

(i 1

2

A ij x i

) 0 x i ...

(6.4)

(6.3)式中的(**)是 x i 三次以上的项。如果保留到最低阶的非零小量， (6.3)式可简化为V ( x1 , x 2 ) V2

1 2

i , j 1

2

1

2 x1 x 2

(

V2

)0 x i x

j

1 2

( b 11 x 1 2 b 12 x 1 x 2 b 22 x 22

2

(6.5)

式中

b ij (

x i x

) 0 b jij

,是常数。V 0 ( 0 ,0 ) 0 , ( V x i )0 0

思考：(6.3)式中为何可略去(**)项和取

?

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动能T的表式中也只要保留到二级小量，故A ij ( x 1 , x 2 ) 只取零级近似即可。A ij ( x 1 , x 2 ) A ij ( 0 , 0 ) a ij T 1 2 a ij x i x jij 0 2

1 2

2 2 ( a 11 x 1 2 a 12 x 1 x 2 a 22 x 2 )

式中

a ij a ji

也都是常数。

将(6.5)和(6.6)代入(6.1)得x x a 11 1 a 12 2 b 11 x 1 b 12 x 2 0 x x a 21 1 a 22 2 b 21 x 1 b 22 x 2 0

(6.7)

或x ( a ij jj 1 2

b ij x j ) 0

i 1,2

(6.8)

上式为两个自由度保守系的自由振动微分方程，是一个二阶常系数线性齐 次 微分方程组。

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(2)微分方程的解.频率方程(久期方程) 用常规方法求解。设(6.7)式的解为 x 1 A 1 sin( t ) x 2 A 2 sin( t )

(6.9)

将(6.9)式代入(6.7)得 A 1 ( b 11 a 11 2 ) A 2 ( b 12 a 12 2 ) 0 2 2 A 1 ( b 21 a 21 ) A 2 ( b 22 a 22 ) 0

(6.10)

或

j 1

2

A j ( b ij a ij ) 0 ,2

i 1,2

(6.11)

由(6.10)知：A 1 A 2 0 ,由此得 x 1 x 2 0 ,对应于体系的平衡状态， 不是 所需要的解。要使(6.10)中的 A 1 , A 2 有异于零的解，方程的系数行 列式必须为 零，因 a 21 a 12 , b 21 b 12 ,得，

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b 11 a 11 b 12 a 12

2 2

b 12 a 12 b 22 a 22 2

2 2

( b 11 a 11 )( b 22 a 22 ) ( b 12 a 12 ) 02 2 2

(6.12)

(方程6.12)称为频率方程(或久期方程)。可以证明它恒有两个正的实根。 为 和 22,根据线性方程的原理，经过计算得方程(6.7)的通解为 设2 1

' x 1 A 1'( 1 ) sin( 1 t 1 ) A 1( 2 ) sin( 2 t 2 ) (1 ) '( 1 ) (2) '( 2 ) x 2 2 A 1 sin( 1 t 1 ) 2 A 1 sin( 2 t 2 )

(6.13)