第三章随机信号分析

随机过程平稳随机过程随机过程通过系统噪声

3.1随机过程

通信过程就是信号和噪声通过系统的过程。通信中信号特点：具有不可预知性——随机信号。通信中噪声特点：具有不确定性——随机噪声。统计学上：随机过程。

一、基本概念二、统计特性

一、基本概念

随机变量定义分布函数概率密度函数二维随机变量随机变量的数字特征

数学期望方差协方差矩

基本概念(续)

随机过程设 E是随机试验， S={e}是其样本空间，如果对于每一个e∈S,有一个时间t的实函数ξ(e,t) t∈T与之对应，于是对于所有的e∈S,得到时间t的函数族。该族时间t的函数称为随机过程，族中每个函数称为这个随机过程的样本函数。ξ(t)={x1(t),x2(t),……,xn(t),……} x1(t),x2(t),……为样本函数

基本概念(续)样本空间

S1 S2 Sn x2 (t ) t x1 (t ) t

(t)

xn (t ) t tk

基本概念(续)

随机过程的一个实现每一个实现都是一个确定的时间函数，即样本。随机过程其随机性体现在出现哪一个样本是不确定的。随机过程没有确定的时间函数，只能从统计角度，用概率分布和数字特征来描述。

二、统计特性

概率分布数学期望方差协方差函数相关函数

1.概率分布

随机过程ξ(t)在任一时刻t1的取值是随机变量，则随机变量ξ(t1)的取值小于等于某一数值x1的概率为随机过程ξ(t)的一维概率分布函数：

F1 ( x1, t1 ) P{ (t1 ) x1}随机过程ξ(t)的一维概率密度函数： F1 ( x1, t1 ) f1 ( x1, t1 ) x1

概率分布(续)随机过程ξ(t)的n维概率分布函数和n维概率密度函数分别是：Fn ( x1, x2 xn; t1, t2 tn ) P{ (t1 ) x1, (t2 ) x2 (tn ) xn} n Fn ( x1, x2 xn; t1, t 2 t n ) f n ( x1, x2 xn; t1, t 2 t n ) x1 x2 xn

2.数学期望E[ (t )] xf1 ( x, t )dx a(t )

物理意义：表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心(平均值)

3.方差D( (t )] E{ (t ) E[ (t )]}2 2 (t )

物理意义：表示随机过程在某时刻t的取值(随机变量)相对于该时刻的期望a(t)的偏离程度

4.自相关函数R(t1, t2 ) E[ (t1 ) (t2 )] 1 2 2

x x f ( x1, x2; t1, t2 )dx1dx2

物理意义：表示随机过程在两个时刻的取值的关联程度，ξ(t)变化越平缓，两个时刻取值的相关性越大，R值越大

5.自协方差函数B(t1, t2 ) E{[ (t1 ) a(t1 )][ (t2 ) a(t2 )]}

x1 a t1 x2 a t2 f 2 x1, x2; t1, t

2 dx1dx2

物理意义：表示随机过程在两个时刻间的线性依从关系

6.互协方差及互相关函数B (t1, t2 ) E{[ (t1 ) a(t1 )][ (t2 ) a(t2 )]}

R (t1, t2 ) E[ (t1 ) (t2 )]

x1y2 f 2 ( x1, y2; t1, t2 )dx1dy 2

3.2平稳随机过程

定义各态历经性自相关函数功率谱密度

一、定义

若随机过程的n维概率分布函数Fn ()和n维概率密度函数fn ()与时间起点无关，则为平稳随机过程严平稳过程，狭义平稳过程

f n x1, x2,..., xn; t1, t2,..., tn f n x1, x2,..., xn; t1 , t2 ,..., tn

定义(续)a (t) a;σ2(t) σ2; R(t1,t2) R(τ)

一维分布与t无关：二维分布只与τ有关统计特性与时间起点无关依据数字特征定义

宽平稳过程，广义平稳过程

二、各态历经性设x (t)是ξ(t)的任一实现，ξ(t)的统计平均= x (t)的时 1 T2间平均 a a x(t )dt

lim T T

T

2

2 2

lim T

1 T

T

2 2

T

[ x(t ) a]2 dt2 T 2 T

1 R( ) R( ) lim T T

x(t ) x(t )dt

意义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”,使实际测量和计算的问题大为简化。

平稳随机过程的自相关函数

以相关函数表示随机过程的物理特性

R τ E t t τ ξ(t)的平均功率：S= E[ξ 2(t)]= R(0)ξ(t)的直流功率：a2= E2[ξ(t)]= R(∞)ξ(t)的交流功率：σ2= R(0) - R(∞) 相关函数其他性质R(τ)=R(-τ)| R(τ)|≤R(0)

平稳随机过程的功率谱密度

功率谱特性ξ(t)的功率谱：即：ξ(t)的平均功率：

P ( ) R( )e j d

P ( ) R( )1 S P ( )d 2 Po( ) n0 2 K 2 0

即：平均功率=功率谱曲线下的面积-fH O

fH

f

例题

求随机相位正弦波ξ(t)=Asin(w0t+θ)的自相关函数和功率谱密度, 在(0, 2π)内均匀分布。

解：

证明 (t)是广义平稳过程 2 A求自相关函数 R( ) cos c 2

功率谱密度平均功率

P ( )

A 22

[ ( c ) ( c )]

1 S R(0) 2

A2 P ( )d 2