自学考试：近世代数试题及答案 (15)

自学考试：近世代数试题及答案 (1)

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浙江省2011年1月自学考试近世代数试题

课程代码：10025

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A=B=R（实数域），

 :a→2a+1 a∈A

则 是从A到B的( )

A.满射而非单射 B.单射而非满射

C.一一映射 D.既非单射也非满射

2.在整数集Z中，Z的代数运算aob=当a为偶数时

a( )

a 1当a为奇数时

A.既适合结合律又适合交换律 B.适合结合律但不适合交换律

C.不适合结合律但适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律

3.下列关系，______是整数集Z中元素之间的等价关系.( )

A.大于 B.大于或等于

C.整除 D.同余

4.下列集合对所给运算作成群的是( )

A.非零有理数的全体对普通数的加法

B.非零有理数的全体对普通数的减法

C.非零有理数的全体对普通数的乘法

D.非零有理数的全体对普通数的除法

5.设R= c

a

b a,b,c Z

，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是(

0

A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环

C.无单位元的非可换环 D.有单位元的非可换环

二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.在5次对称群S5中，(134)2(3512)-1=______.

7.6阶循环群有______个生成元.

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自学考试：近世代数试题及答案 (1)

8.任何一个群都同一个______同构.

9.模6的剩余类环Z6的子环个数等于______.

10.偶数环有______个单位元.

11.设F是有四个元的域，则F的特征为______.

12.一个主理想环的非零最大理想都是由一个______所生成.

13.设Q是有理数域，则Q

1 2i 1 i 1 =______. 14.23i在有理数域Q上的极小多项式是______.

三、解答题（本大题共3小题，第15小题10分,第16,17小题各12分，共34分）

15.设R={a·i|a为实数，i= 1}，问R关于普通数的加法和乘法是否构成环？为什么？

16.找出模14的剩余类加群Z14的所有子群，并找出Z14的全部生成元.

17.假定R是由所有复数a+bi(a,b是整数)组成的环，求商环R/（1+i）.

四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.设G是一个非交换群，求证：G中存在两个不同的非单位元a和b，满足ab=ba.

19.假定H是群G的子群，N是G的不变子群，证明:HN是G的子群.

20.设A= 0 a ab a,b,c Z关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明:A=1 c 0 0 a,c Z 是A的子环，找出Ac 到A1的一个同态满射f,并求f的核ker f.

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