第19章 四边形§19.2 平行四边形

1.两组对边分别平行的四边形 是平行四边形. 2.两组对边分别相等…3. 一组对边平行且相等… 4.两条对角线互相平分…

1.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O, (1)若AD=8cm,AB=4cm,那么当BC=___ _cm, CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形； (2)若AC=10cm,BD=8cm,那么当AO=__ _cm, DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形.

2. 对于四边形ABCD,如果从条件①AB∥CD ②AD∥BC③AB=CD④BC=AD中选出2个, 那么能 说明四边形ABCD是平行四边形的有 _______(填序号，填出符合条件的一种情 况即可) 3.若对角线AC、BD相交于点O,

且OA=OC,则只需添加一个条件_____能说明四边形ABCD是平行四边形.

4. 如图：四边形ABCD是梯形，在 底边AB上求作一点E,使四边形 AECD为平行四边形.注意是尺规 作图哦！ D C

A

B

例5 求证：经过三角形一边中点与 另一边平行的直线必平分第三边.已知：如图,在△ABC中，点D为AB中点， DE∥BC交AC于点E. 求证：AE=EC A证明：过点C作CF∥AB交DE延长线于F点, 则四边形BCFE是平行四边形. D 连接DC,AF. B E F

C

自主学习：1、 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形 的中位线，一个三角形有 三 条中位线. 2.在练习本上画出一个三角形,并画出它的一 条中位线.

三角形的中位线有什么性质？ 如图，DE是△ABC 的一条中位线.(1)量一量DE,BC 的长是多少？你能作出什 么猜测？ (2)观察图形中的DE与BC,猜测DE 与BC 位置 A 关系？ D E C

B

已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线1 求证：DE ∥ BC,且DE= 2 BC 。AD 证明：如 图，延 长DE 到 F,使 EF=DE ,连 结CF. ∵DE=EF ∠1=∠2 AE=EC

1 E 2C

B

∴DF∥BC,DF=BC 即DE∥BC 1 又∵ DE 1 DF DE BC 还有另外的证法吗？ 2 2

∴△ADE ≌ △CFE F ∴AD=FC 、∠A=∠ECF ∴AB∥FC 又AD=DB ∴BD∥ CF且 BD =CF ∴四边形BCFD是平行四边形

证法二：如图，延长DE至F, 使EF=DE, AD EF

连接CD、AF、CF∵AE=EC

∴DE=EF

B

C

∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD FC 又D为AB中点， ∴DB FC

∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC

DB

证法三：过点 C 作 AB 的平行 A 线交DE的延长线于F ∵ CF ∥ AB , E F ∴∠A=∠ECF 又AE=EC,∠AED=∠CEF C ∴△ADE≌△CFE ∴ AD=FC 又DB=AD, ∴DB FC ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC

证法四：过点D作DE’∥BC交AC于点E’. 由例5知，点E’与点E重合.

A E (E’)

∴DE// BC. 同理，过点D作DF∥AC交BC 于点F, 则点F为BC的中点.∴四边形DFCE是平行四边形, B ∴DE=FC=1/2BC.

D

F

C

三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边 的一半。 A

用符号语言表示 ∵DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC, 位置关系 1 DE= BC. 数量关

系 2

D

E

B

C

三角形的中位线定理:三角形的中位线 平行于第三边，并且等于第三边的一半.三角形的中位线定理的主要用途：

(1)证明平行 (2)证明一条线段是另一条线1 段的2倍或 . 2B D

A

E C

第三边

巩固新知

A D B D E

平行于 第三边,并 1.三角形的中位线_______ 等于 第三边的____________ 一半 且______

2.如图：在△ABC中，DE是中 位线.(1)若∠ADE=60°,则∠B= 60° ;

C (2)若BC=8cm,则DE=

4 cm.

(3)DE +BC=12cm,则BC=8cm —— 3.若等腰△ABC的周长是 40cm,AB=AC=14cm,则中位线DE 6cm =———

4.如图, MN 为△ABC 的中位线,若 ∠ABC =61°则∠AMN = 61° , 若MN =12 ,则BC = 24 .A M B

NC

5. 如图, △ABC 中, D ,E 分别为AB, AC 的中点,当BC =10㎝时 , 则 B DE = 5㎝ .D A E C

6.如图,已知△ABC中, AB = 3㎝,BC=3.4 ㎝ AC=4㎝ 且D,E,F分别为 AB,BC,AC边的 中点,则△DEF的周长 A

是

5.2

㎝.C

D

E

F

B

7、如下图：在Rt △ ABC中， ∠A=90°,D、E、F分别是各边 中点, AB=6cm,AC=8cm,则 △DEF的周长= 12 cm。B D A F C

E

8、如图:AD是ΔABC的边BC边上的中线. (1)画图:延长AD到点E, 使DE=AD,连接BE,CE; A (2)判断四边形ABEC的 形状,并说明理由.B D

C

E

挑战自我A E

H

已知：如图，在四边形ABCD中， D E、F、G、H分别是AB、BC、 CD、DA的中点. G 求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明：连结AC C ∵ AE=EB、CF=FB,(三角形中位线定理)

B

F

1 ∴EF∥AC,EF= 2 AC 1 同理： HG∥AC,HG= AC 2

∴EF ∥HG,且EF=HG

∴四边形EFGH是平行四边形