北工大高数2008-2009学年第一学期期末考试_工1-A(3)

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。

00115

四．解答题：本大题共2小题，每小题9分，共18分。解答应写出完整过程或演算步骤。

D ( x 1)dx ( x 1)dx 2，V ( x 1)2dx

122

(15)

设函数f(x)

f(x)dx.求 f(x)dx．

11

解：因定积分是常数，可设 f(x)dx A，原等式两边取在[0,1]上的积分,且注意

1

到

1

是广义积分 f(x)dx

11

A

1

sin A limarcx0

04

A． 24

1 2 2

得等式： A A 解得A ，即 f(x)dx ．

0244 4

（16）设函数f(x)可导,且满足 xf (x)=f ( x) 1,f(0) 0.

1) 求f (x)； 2）求函数f(x)的极值.

1) 在方程xf (x)=f ( x) 1中令 t x，得 tf ( t)=f (t) 1，从而

xf (x)=f ( x) 1

有

xf ( x)=f (x) 1

，解得f (x)

x

x 1

。 2

1 x

2）由f(0) 0， 得f(x) f(0)

t 1

dt，即 01 t2

1x 1f(x）=ln(1 x2) arctanx。由f (x) 得f(x）的驻点

21 x2

x2 2x 1

1(nl4na 1tcra而f (x) 即f)x0 1。 f (1) 0，22

(1 x)是f(x）极小值。