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3.3.1 两条直线的交点坐标

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复习提出两条直线A 两条直线 1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的 和 的 位置关系与系数的关系？ 位置关系与系数的关系？A1 B1 两条直线相交; 当——≠ —— 时，两条直线相交 A2 B2 A1 B1 C1 两直线平行； 当 —— = —— ≠ —— 时，两直线平行； A2 B2 C2 A1 B1 C1 两条直线重合。 当 —— = —— = —— 时，两条直线重合。 A2 B2 C2

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知识探究( 知识探究(一):两条直线的交点坐标

思考1:若点P在直线 上 则点P 思考1:若点P在直线l上，则点P的坐标 1:若点 与直线l的方程Ax+By+C=0有什么 的方程Ax+By+C=0 (x0,y0)与直线 的方程Ax+By+C=0有什么 关系？ 关系？ Ax0+By0+C=0 思考2:直线2x+y-1=0与直线2x+y+1=0, 思考2:直线2x+y-1=0与直线2x+y+1=0, 2:直线2x+y 与直线2x+y+1=0 直线3x+4y 2=0与直线2x+y+2=0的位置 3x+4y与直线2x+y+2=0 直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的位置 关系分别如何？ 关系分别如何？

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思考3:能根据图形确定直线3x+4y-2=0与 思考3:能根据图形确定直线3x+4y-2=0与 3:能根据图形确定直线3x+4y 直线2x+y+2=0的交点坐标吗？ 2x+y+2=0的交点坐标吗 直线2x+y+2=0的交点坐标吗？有什么办 法求得这两条直线的交点坐标？ 法求得这两条直线的交点坐标？y P o x

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思考4:一般地，若直线 思考4:一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0 4:一般地 =0相交 相交， 和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点 坐标？ 坐标？几何元素及关系 点A 直线l 直线 点A在直线l上 在直线 上 直线l 的交点是A 直线 1与l2的交点是A 代数表示 A (a, b)

L:Ax+By+C=0 Aa+Bb+C=0点A的坐标是方程组的解

A1x + B1y + C1 = 0 A2x + B2y + C2 = 0

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(二)讲解新课：两条直线的交点： 两条直线的交点： 如果两条直线A =0和 如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0 相交，由于交点同时在两条直线上， 相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定 A1x+B1y+C1=0 是它们的方程组成的方程组 A x+B y+C =0 2 2 2 A1x+B1y+C1=0 的解；反之， 的解；反之，如果方程组 A2x+B2y+C2=0 只有一个解， 只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线 =0和 =0的交点 的交点。 A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。

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思考5:对于两条直线 l1 : A1x + B1y + C1 = 0 思考5 和 l2 : A2x + B2y + C2 = 0 ,若方程组 A1x + B1y + C1 = 0 A2x + B2y + C2 = 0

有惟一解，有无数组解，无解，则两直 有惟一解，有无数组解，无解， 线的位置关系如何？ 线的位置关系如何？直线l 直线 1、l2联立得 方程组 唯一解 无 穷穷多 无解 (代数问题 代数问题) 代数问题

l 1 、 l 2 相交 , 转化 l 1 、 l 2 重合 , l 1 、 l 2 平行 .(几何问题 几何问题) 几何问题

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一般地，对于直线 一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0, , l2:A2x

+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有 有 方程组

A1 B1 ≠ l1l2相交, 相交, 唯一解 A2 B2 A1x + B1y + C1 = 0 A1 B1 C1 = = l1l2重合, 重合, 无数解 A2 B2 C2 A2x + B2y + C2 = 0 A1 B1 C1 无解 = ≠ l1l2平行. 平行. A2 B2 C2

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例1:求下列两条直线的交点：l1:3x+4y-2=0; 求下列两条直线的交点： 3x+4y-2=0; l2:2x+y+2=0.解：解方程组 3x+4y-2 =0 - 2x+y+2 = 0 得 x= -2 y=2

∴l1与l2的交点是M(- 2,2) 的交点是 ( , )

判断下列各对直线的位置关系，如果相交， 例2 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求 出其交点的坐标. 出其交点的坐标

(1) l1:x y = 0, (3) l1:x + 4y 5 = 0, 3

l2:x + 3y 10 = 0; 3l2:x + 8y 10 = 0. 6

6 3 (2) l1:x y + 4 = 0, l2:x 2y 1 = 0;

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例3:求直线3x+2y-1=0和2x-3y-5=0的交点M的 求直线3x+2y-1=0和2x-3y-5=0的交点M 3x+2y 的交点 坐标，并证明方程3x+2y 1+λ(2x-3y- 3x+2y- 坐标，并证明方程3x+2y-1+λ(2x-3y-5)=0 为任意常数)表示过M点的所有直线( (λ为任意常数)表示过M点的所有直线(不包括 直线2x 3y-5=0)。 2x- 直线2x-3y-5=0)。3x+2y-1=0 - y 证明： 证明：联立方程 2x-3y-5=0 - - x x=1 解得： 解得： y= - 1 代入：x+2y-1+λ(2x-3y-5)= 0 代入： - ( - - ) 得 0+λ·0=0 ∴M点在直线上 点在直线上 即 M(1,- 1) ( , )

o

(1, - 1) M

+λ( =0是过直 是过直A A1x+B1y+C1+λ( A2x+B2y+C2)=0是过直A1x+B1y+C1=0 =0的交点的直线系方程 的交点的直线系方程。 和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。

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知识探究( 知识探究(二):过交点的直线系

思考1:经过直线l 3x+4y-2=0与直线 与直线l 思考1:经过直线 1:3x+4y-2=0与直线 2: 1:经过直线 2x+y+2=0的交点可作无数条直线 的交点可作无数条直线， 2x+y+2=0的交点可作无数条直线，你能 将这些直线的方程统一表示吗？ 将这些直线的方程统一表示吗？ k存在: y-2=k(x+2);k不存在: x=-2 存在: y-2=k(x+2); 不存在: x=思考2:上述直线l 与直线l 的交点M 2:上述直线 思考2:上述直线 1与直线 2的交点M (-2,2)在这条直线上吗？当m,n为何 在这条直线上吗？ 值时，方程 m(3x + 4 y 2) + n(2x + y + 2) = 0 值时， 分别表示直线l 分别表示直线 1和l2? n=0,m=o分别表示直线 1和l2 分别表示直线l 分别表示直线

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思考3:方程 思考3:方程 m(3x + 4 y 2) + n(2x + y + 2) = 0 3: 不同时为0 表示什么图形？ (m,n不同时为0)表示什么图形？ 表示一些直线 思考4: 4:方程 思考4:方程 3x + 4 y 2 + λ(2x + y + 2) = 0 表示的直线包括过交点M 表示的直线包括过交点M(-2,2)的所 有直线吗？ 有直线吗？ 不表示2x+y+2=0这条直线 这条

直线 不表示

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思考5:方程 思考5:方程 m(3x + 4 y 2) + n(2x + y + 2) = 0 5: 的交点的直线系， 表示经过直线l 表示经过直线 1和l2的交点的直线系，一 般地，经过两相交直线l 般地，经过两相交直线 1:A1x+B1y+C1=0 =0的交点的直线系方程 和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程 可怎样表示？ 可怎样表示？ m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0 +λ( 或A1x+B1y+C1+λ( A2x+B2y+C2)=0

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例4:求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y-7=0的交点， 求经过两条直线x+2y-1=0和2x- 7=0的交点， x+2y 的交点 且垂直于直线x+3y 5=0的直线方程 x+3y- 的直线方程。 且垂直于直线x+3y-5=0的直线方程。解法一： 解法一：解方程组 x+2y-1=0, - , 得 2x-y-7=0 - - 这两条直线的交点坐标为( , ) ∴这两条直线的交点坐标为(3,-1) 又∵直线x+2y-5=0的斜率是-1/3 直线 - 的斜率是- 的斜率是 ∴所求直线的斜率是3 所求直线的斜率是 所求直线方程为y+1=3(x-3)即 3x-y-10=0 ( - ) 所求直线方程为 - - 解法二：所求直线在直线系 - - 解法二：所求直线在直线系2x-y-7+λ(x+2y-1)=0中 ( - ) 中 经整理，可得( 经整理，可得(2+λ)x+(2λ-1)y-λ-7=0 ) ( - ) - - 2+λ ∴ - ———— =3 解得 λ= 1/7 2λ-1 - 因此，所求直线方程为3x- - 因此，所求直线方程为 -y-10=0 x=3 y= -1

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求证：不论m取何实数 直线(2m-1)x 取何实数， 例5求证：不论 取何实数，直线 - 恒过一个定点， -(m+3)y-(m-11)=0恒过一个定点，并 - - 恒过一个定点 求出此定点的坐标. 求出此定点的坐标

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小结： 小结： 1)对于直线 1:A1x+B1y+C1=0 )对于直线l (A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有方程组 有方程组 A 1x + B 1y + C 1 A 2x + B 2y + C 2 唯一解 = 0 无数解 = 0 无解 A A1 2

, l2:A2x+B2y+C2=0A A A A1 2 1 2

≠ = B B1 2

B B B B

1 2 1 2

相交, l 1 l 2 相交, = C C1 2

C C

1 2

重合, l 1 l 2 重合,

=

≠

l 1 l 2 平行. 平行.

2)过交点的直线系经过两相交直线 1:A1x+B1y+C1=0和 )过交点的直线系经过两相交直线l =0和 经过两相交直线 l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程可表示 =0的交点的直线系方程可表示

m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0 或A1x+B1y+C1+λ( A2x+B2y+C2)=0 +λ(