2011年全国高考理科数学试题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷

上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

1 2

3

4

5 ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

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6．根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为 f(x)

cxcA

,x A,,x A

（A，C为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是 A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16 7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是

8．设

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9．在 ABC中。若b=5， B

4

，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。

10．已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b与c共线，则

k=___________________。 11．在等比数列{an}中，a1=

1

，a4=-4，则公比q=______________；2

a1 a2 ... an ____________。

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12．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个。

（用数字作答）

2

x 2 ,

13．已知函数f(x) x若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的

(x 1)3,x 2

取值范围是_______

14．曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F¬2（1，0）的距离的积等于常数a2(a 1)

的点的轨迹.给出下列三个结论：

15

16 ，

(

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17．本小题共13分

以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

xn

18

19．（本小题共14分）

x2

y2 1.过点（m,0）作圆x2 y2 1的切线I交椭圆G于A，B两点. 已知椭圆G:4

（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（II）将AB表示为m的函数，并求AB的最大值.

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20．（本小题共13分）

若数列An a1,a2,...,an(n 2)满足an 1 a1 1(k 1,2,...,n 1)，数列An为E数列，

记S(An)=a1 a2 ... an．

（Ⅰ）写出一个满足a1 as 0，且S(As)〉0的E数列An

（Ⅱ）若a1 12，n=2000，证明：E数列An （Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的AAn =0？

如果存在，写出一个满足条件的E数列n

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参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）D （5）A （6）D （7）C （8）C

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）

25

2 （10）1

（11

（13（15

（16）（共14分）

证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD. 又因为PA⊥平面ABCD. 所以PA⊥BD. 所以BD⊥平面PAC. （Ⅱ）设AC∩BD=O. 因为∠BAD=60°，PA=PB=2,

所以BO=1，AO=CO=3.

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如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则

P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0）. 所以 (1,, 2), (0,2,0). 设PB与AC所成角为 ，则

cos

622 2

6

. 4

（Ⅲ）由（Ⅱ）知BC ( 1,,0).

所以PA=6

（17）（共13分）

解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为

8 8 9 1035

;

44

方差为

13535353511

s2 [(8 )2 (8 )2 (9 )2 (10 )2] .

4444416

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（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=同理可得P(Y 18)

21 . 168

1111;P(Y 19) ;P(Y 20) ;P(Y 21) . 4448

18

19

20

21

所以随机变量Y的分布列为：

Y 17

（18x

( , k)

— ↘

k

0 0

( k,k) + ↗

k 0

(k, )

— ↘

f (x) f(x)

4k2e 1

所以，f(x)的单调递减区间是（ , k）和(k, )；单高层区间是(k, k)

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（Ⅱ）当k>0时，因为f(k 1) e

1 1

k

11

，所以不会有 x (0, ),f(x) .

ee

4k2

. 当k<0时，由（Ⅰ）知f(x)在（0，+ ）上的最大值是f( k) e

4k211

所以 x (0, ),f(x) 等价于f ( k) .

eee

解得

1

k 0

. （19 y k(x m),

由 x2得(1 4k2)x2 8k2mx 4k2m2 4 0

2

y 1. 4

设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)，则

4k2m2 4

x1 x2 ,x1x2 22

1 4k1 4k

8k2m …… 此处隐藏：962字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……