2007现代控制理论试题A卷及答案

2007现代控制理论试题A卷及答案

一、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m为运动物体的质量，k为弹簧的弹性系数，h为阻尼器的阻尼系数，f为系统所受外力。取物体位移为状态变量x1，速度为状态变量x2，并取位移为系统输出y，外力为系统输入u，试建立系统的状态空间表达式。

解

f ma……………………………….……1分

令位移变量为x1，速度变量为x2，外力为输入u，有

2u kx1 kx2 mx

………………………………2分

于是有

1 x2x 2 x

………………………………..……………1分

kmx1

hmx2

1mu

……….….……………….2分

再令位移为系统的输出y，有

y x1…………………………….……….1分

写成状态空间表达式，即矩阵形式，有

0

1 x k 2 x

m

1 0

x1 h 1u x2 m m

………..……………..2分

y 1

x1

0 ……………………..……….……….2分 x2

Ax，有 二、（8分）矩阵A是2 2的常数矩阵，关于系统的状态方程式x

e 2t 2e t 1 2

x(0) 时，x 2t ；x(0) 时，x t 。

1 1 e e

试确定状态转移矩阵 (t,0)和矩阵A。 解

因为系统的零输入响应是

) x t (t,0x

(……………0)..……….……….2分

所以

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e 2t 2e t 1 2 2t (t,0) ， t (t,0)

1 1 e e

将它们综合起来，得

e 2t

2t

e

t2e 1

(t,0) t e 1

t

2e 1 t e 1 t

2e 1 t e 1

2

……………….……….2分 1 2 1 2 1

1

e 2t

(t,0) 2t

e

e 2t 2t

e

…………….……….2分

2e t e 2t 2t

t

e e

2e

t

2e e

2t t

2e

2t

而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵 (t,t0)满足微分方程

ddt

t,t0 A t,t0

和初始条件 t0,t0 I 因此代入初始时间t0 0可得矩阵A为：

d 1

A (t,t0) (t,t0)

dt t t0 0

2e 2e 2t t

2e e

0 1

2 3

t

2t

2e

t

4e e

2t t

4e

2t

t 0

…………….……….1分

…………………………………….……….1分

三、（10分）（1）设系统为

a

t x

0

0

x t b

1 1

ut, x(0) 1 1

试求出在输入为u t(t 0)时系统的状态响应（7分）。

0

x (2)已知系统

3

1 1 x u, y 14 1

1 x，写出其对偶系统（3分）。

解 （1）

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e at

t

0

0

……………………………..…….……..1分 bt e

x(t) t x(0)

e at 0 e at bt e

t

t Bu( )dτ……….….……….……..2分

t0

0 1

bt

e 1

e a t 0

1

tdτ b t 1e 0

….……..1分

t0

e a t

bt

e

dτ.……….…………………..…..1分

at1

e t

a

=

bt1 e t

b

1a1b

1a1b

ee

at

bt

…………………………..…..2分

（2）

0 x

1

3 1

x u4 1

………….….……….……..2分

y 11 x……….………………...……….……..1分

四、（10分） 1 1 x

（1）求系统

2 1 x 1 0(2)求系统x

0

121

0 x1

2 x2 x1 2

u, y 11 的传递函数g(s).（5分） 1 x2

0 1

1x 1u的能控标准型（可以不求变换矩阵）。（5分）

1 1

解 (1)由状态空间表达式得到传递函数的公式为：

g(s) c(sI A)b……….……….…………….1分

1

由

s 1sI A

1

0 s 2

…………...………………..1分

得

1

s 1

1 (s 1)(s 2)

………..………….1分 1 s 2 0

(sI A)

1

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于是

1

s 1

g(s) 11

1 (s 1)(s 2)

3s 3s 3s 2

2

2 1 1 …………..2分 s 2 0

3s 2

（2）

s 1

s I A

00

2

1s 2 1

01s 1

………...……………….1分

(s 1)(s s 1)

3

2

2

…...………………………1分

s s s s s 1…………..……………1分 s 2s 1……………………………………1分

3

从而知能控标准型为

0

0 1

102

0 0

1 0u…………………………1分

0 1

五、(10分）（1）利用Lyapunov第一方法判断系统平衡点x 0的稳定性（5分）：

1 x1 x2 4sinx2x

2 3x1 ex1 3x2 1x

（2）取Q I，通过求解Lyapunov方程判断系统平衡点x 0的稳定性（5分）：

1

x

5

1 x 3

解 （1）

1A x1

3 e

1 2

1 4cosx2

…………………………….2分

3 x 0

3

……………………………………………….1分 3

A

的特 …… 此处隐藏：1485字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……