复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案

1

习题一

1.用复数的代数形式a+ib表示下列复数

∴Re,=1

④解：

3

．Im=0

∵

e iπ/4;

3+5i13

.

;(2+i)(4+3i);+

7i+1i1+i

4

4

=

( 1)

3 3 ( 1) (1

(8+0i)=

18

2

+ 3 (

1)

2

3

i

8

π π ①解e π4

=cos +isin =

3+5i)(1 7i)1613

②解：3+5i=(= +i

7i+1

1+7i1 7i2525

,∴Re=1

③解：④解：

(2+i)(4+3i)=8 3+4i+6i=5+10i

3(1 i)3513

+= i+= ii1+i222

Im=0．

k

1,()n=2k

⑤解：∵in= k∈ ．k

n=2k+1 ( 1) i,

2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)

∴当n=2k时，Re(in)=( 1)k，Im(in)=0；

3

z a(a∈R);z3;;;in.z+

a1

3

当

k

n=2k+1时，

Re(in)=0

，

：∵设z=x+iy

Im(in)=( 1)．

3.求下列复数的模和共轭复数

则

(x a)+iy z a(x+iy) a(x a)+iy (x+a) iy === 22z+ax+iy+ax+a+iy(x+a)+y

∴

222

z a x a yRe =2

z+a (x+a)+y2

2+i; 3;(2+i)(3+

2i);

①解： 2+i==1+i

.2

,

2+i= 2 i②解： 3=3

3= 3

2xy z a

．Im =22

z+a (x+a)+y

③解：(2+i)(

3+2i)=2+i3+2i==2+i3+2i=2+i 3+2i=(2 i) (3 2i)=4

7i

②解：设z=x+iy∵

z=(x+iy)=(x+iy)(x+iy)=(x y+2xyi)(x+iy)

3

3

2

2

2

222

=x(x2 y2) 2xy2+ y(x y)+2xy i

④解：

1+i+i==22=x3 3xy2+(3x2y y3)i

∴

Re(z3)=x3 3xy2

1+i 1+i1 i

= =22 2

,

4、证明：当且仅当z=z时，z才是实数．

证明：若z=z，设z=x+iy，

Im(z3)=3x2y y3．

③解：

∵

1+=8

3

(

3

=

1

1 3 ( 1) 8

{

+ 3 (

1)

2

2

}

3

则有

x+iy=x iy，从而有(2y)i=0，即y=0

=

1

(8+0i)=

18

∴z=x为实数．

若z=x，x∈ ，则==x．

1

∴z=z．命题成立．

5、设z,w∈ ，证明：z+w

2

≤

z+w

38 16i19 8ii θ8

==e其中θ=π arctan．502519

π

②解：i=ei θ其中θ=．

2=

证明∵z+w=(z+w) z+w=(z+w)z+w

=z z+z w+w z+w w=z++z +w=z+w

≤

22

2

2

()

i=e

i

π2

③解： 1=

eiπ=eπi

2

④解： 8π1+=16πθ=

π.

3

()

+2Re(z )

2

∴ 8π1=16π e2π2π

⑤解： cos+isin

99

3

()

2

πi3

z+w+2z 2

2

2

=z+w+2z w=(z+w)∴z+w

≤

2

2π2π

解：∵ +isin cos =1．

99

3

z+w．

i π.32π2π

∴ cos+isin =1 e9=e3

99

3

2

2π

6、设z,w∈ ，证明下列不等式．

z+w=z+2Rez w+wz w=z 2Rez w+w

2

2

2

2

()

2

()

8.计算：(1)i的三次根；(2)-1

的三次根；

(3)

2

z+w+z w=2z+w

22

(

22

)

2

的平方根.

⑴i

的三次根．解：

并给出最后一个等式的几何解释．

证明：z+w=z+2Rez w+w在上面第五题的证明已经证明了．

下面证z w=z 2Rez w+w．

∵z w=(z w) z w=(z w)z w

=z z w w z+w

22

2

22

2

2

2

()

ππ

= cos+isin =cos

22

1

3

2kπ+

ππ

2kπ+

+isin33

(k

=0,1,2)

．

()

∴

2

ππ1

z

1=cos+isini

662

()

551

z2=cosπ+isinπ=+

i

662991z3=cosπ+isinπ= i

662

⑵-1

的三次根解：

=z 2Rez w+w．从而得证．

()

2

∴z+w+z w=2z+w

22

(

22

)

(cosπ+isinπ)3=cos

1

2kπ+π2kπ+π

+isin33

(k=

0,1,2)

几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边

的平方的和．

7.

将下列复数表示为指数形式或三角形式3+5i2π2π

;i; 1; 8π(1); cos+isin .7i+1 99

3

∴z1=cosπ+isinπ=1+3

3

2

z2=cosπ+isinπ=

1

①解：

3+5i(3+5i)(1 7i)=

7i+11+

7i1 7i551z

3=cosπ+isinπ=

332的平方根．

1

π

4=e

(1)argz=π;

(2)z 1=z;(3)1<z+i|<2;(4)Rez>Imz;(5)Imz>1且z<2.

解：

(1)、argz=π．表示负实轴．

9

∴

e

1π2)

ππ

2kπ+2kπ+ 4+isin4=6 cos (k=0,1) 22

1iππ

∴z1=6 cos+isin =64 e8

88 πi99

z2=6 cosπ+isinπ =64 e8．

88

1

4

1

14

1π

9.设z=e

i

2πn

,n≥2.证明：1+z+ +zn 1=0

i 2πn

证明：∵z=e

∴zn=1，即zn 1=0．

∴(z 1)(1+z+ +zn 1)=0又∵n≥2．∴z≠1

从而1+z+z2+ +zn 1=0

11.设Γ是圆周{z:z c=r},r>0,a=c+reiα.令

(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=

1．2

z a ,Lβ= z:Im =0

b

其中b=eiβ.求出Lβ在a切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.

解：如图所示．

(3)、1<|z+i|<2解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

z a

因为Lβ={z:Im =0}表示通过点a且方

b

向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA⊥Lβ．过C作直线平行Lβ，则有∠BCD=β，∠ACB=90°

故α-β=90°

所以Lβ在α处切于圆周T的关于β的充要条件是

（4）、Re(z)>Imz．

解：表示直线y=x的右下半平面

α-β=90°．

12.指 …… 此处隐藏：16129字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……