求导法则与导数公式

2.2 求导法则 与导数公式

求导法则与导数公式

2.2.1若干基本初等函数的导数1. ( C ) 0 ; 2. ( x ) x 1 ( R ) ; 3. (sin x ) cos x ; 4. (cos x ) sin x ; 5. (log a x ) 1 x ln a

;

(ln x )

1 xx

;

6. ( a x ) a x ln a ;

( e ) ex

求导法则与导数公式

2.2.2导数的四则运算法则定理 1 若函数 f ( x )、 g ( x ) 在点 x 处可导 ，则(1) [( f ( x ) g ( x )] f ( x ) g ( x ) ;

(2) [ f ( x ) g ( x )] f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) ;

特别 [ cf ( x )] C f ( x ) ( C 为常数 ) ;(3) [f ( x) g( x ) ] f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) [ g ( x )]2

, ( g( x ) 0) ;

特别 [

1 g( x )

]

g ( x ) [ g ( x )]2

, ( g( x ) 0) .

求导法则与导数公式

证明：令 y f ( x ) g ( x ) ,则 只证公式(2)。y lim y x x 0

lim

f ( x x ) g( x x ) f ( x )g( x ) x

x 0

lim [ x 0

f ( x x ) g( x x ) f ( x ) g( x x )∵函数 g ( x ) 在 x 点可导，∴函数 g ( x ) 在 x 点连续，

x f ( x ) g( x x ) f ( x ) g( x ) x

]

lim [ x 0

f ( x x ) f ( x )

x g( x x ) g( x ) lim [ f ( x ) ] x 0 x

g ( x x )]

∴ lim g ( x x ) g ( x ) 。 x 0

f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )

求导法则与导数公式

公式(1)、(2)可以推广到有限多个函数的情形，即

① [ f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) ] ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) ; f1

② [C 1 f 1 ( x ) C 2 f 2 ( x ) C n f n ( x )] C 1 f 1 ( x ) C 2 f 2 ( x ) C n f n ( x ) ;

③ [( f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x )] f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) f 1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x )

求导法则与导数公式

例1 求下列函数的导数

(1) y 2 x 3 e sin 2 xx

(2) y

x 5

x 1 x3

3 cos x ;x

(3) y x sin x (ln x 3

1 x

)

(4) y

ln x x

4

求导法则与导数公式

例1 求下列函数的导数

(1) y 2 x 3 e sin 2 xx

解： y (2 x 3 e x 2 sin x cos x ) 2( x ) 3( e ) 2[(sin x ) cos x sin x (cos x ) ]x

2

1 2 x

3 e 2(cos x sin x )x 2 2

1 x

3 e 2 cos 2 x .x

求导法则与导数公式

(2) y

x 5

x 1 x23

3 cos x ;x

解： y x x2 y ( x ) ( x

5 2

x

3

3 cos x ,x

5 2

) ( x ) (3 ) cos x 3

(cos x ) x x

3

2x

5 2

7 2

x

3x

4

3 ln 3 cos x 3 sin x 。x x

求导法则与导数公式

(3) y x sin x (ln x 3

1 x1 x

)

解： y [ x sin x (ln x 3

)]

( x ) sin x (ln x 3

1 x

) x (sin x ) (ln x 3

1 x

) x sin x (ln x 3

1 x

)

3 x sin x (ln x 2

1 x1 x

) x cos x (ln x 3

1 x1 x

) x sin x (3

1 x

1 x2

)

3 x sin x (ln x 2

) x cos x (ln x 3

) ( x x ) sin x .2

求导法则与导数公式

(4) y

ln x x

4

解： y y 4

ln x x

4

4 ln x x2

(ln x ) x ln x ( x ) x

4

1 ln x x2

4(1 ln x ) x2

.

求导法则与导数公式

例 2.求函数 y tan x 的导数。

解： y (tan x ) (2 2

sin x cos x

) 1 sec x .2

cos x sin x cos x2

cos x2

2

(tan x ) sec x类似地可得： (cot x ) csc 2 x ,(sec x ) sec x tan x , (csc x ) csc x cot x .

求导法则与导数公式

例 3.求下列函数的导数(1) y 10 1x

10 1x

(2) y shx注： shx

1 2 1

(e ex

x

)

(双曲正弦函数)

chx

thx

2 shx

(e ex

x

) x x

chx

e ex

e ex

cthx

chx shx

e ex

x x

e ex

求导法则与导数公式

例 3.求下列函数的导数(1) y 10 1x

10 1x

解法 1: y x

(10 1 ) (10 1 ) (10 1 )( 10 1 ) x x x x

(10 1 )xx x

2

10 ln 10 (10 1 ) (10 1 ) 10 ln 10x

(10 1 )x

2

2 10 ln 10x

(10 1 )x

2

.

解法 2: y

10 1x

10 1x

1

2 10 1xx

,2 10 ln 10x

y (1

2 10 1x

)

2 (10 1 ) (10 1 )x 2

(10 1 )x

2

.

求导法则与导数公式

(2) y shx解： y ( shx ) [ ( e e ) ] x

1

x

1 2 x

2

(e x

1 ex

)

1 2

(e x

e e

x

2x

)

1 2

(e ex

) chx ,

即

( shx ) chx

类似可得到( chx ) shx , ( thx ) 1 ch x2

,

( cthx )

1 sh x2

求导法则与导数公式

例 4.设 f ( x ) x ( x 1)( x 2 ) ( x 100 ) ,求 f ( 0 ) 。

解法 1: (利用乘积的求导法则)f ( x ) x [( x 1 )( x 2 ) ( x 100 )] x [( x 1 )( x 2 ) ( x 100 )] [( x 1 )( x 2 ) ( x 100 )] x [( x 1 )( x 2 ) ( x 100 )]

f ( 0 ) ( 1 )( 2 )( 3 ) ( 100 ) 100 !.

解法 2: (利用导数的定义)f ( 0 ) lim f ( x ) f (0) x 0x 0

lim

x ( x 1 )( x 2 ) ( x 100 ) 0 x

x 0

lim ( x 1 )( x 2 ) ( x 100 ) 100 !.x 0

求导法则与导数公

式

例 5.已知 f ( x ) g ( x ) sin ( x x 0 ) ( 1 ) ,其中 g ( x ) 在点 x 0 处连续，证明 f ( x ) 在点 x 0 处可导。分析：仅知 g ( x ) 连续，故不能用乘法求导公式， 只能从导数的定义出发来证明。

证明： f ( x 0 ) 0 , f ( x 0 ) lim f ( x ) f ( x0 ) x x0x x0

lim

g ( x ) sin ( x x 0 ) x x0

x x0

g ( x 0 ), 1 . 1 0,

∴ f ( x ) 在点 x 0 处可导。