获奖教案

椭圆及其标准方程

团风县总路咀高级中学 徐智慧

教学目标

1、理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念。

2、掌握椭圆标准方程的推导及标准方程。

3、进一步学习类比，数形结合的数学思想方法。

4、理解坐标法及其应用

重点：掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程。

难点：椭圆的标准方程的推导与化简。

教学过程

一、创设情景，引入概念

展示1：地球绕太阳旋转，月亮绕地球旋转。

问（1）：它们旋转的轨迹是什么？

学生回答：椭圆

展示2：一个平面截圆锥的各种情形

问（2）：大家观察到了几种曲线？这几种曲线是如何形成的？

回答：圆，椭圆，抛物线，双曲线。

教师指出：这几种曲线可看成平面截圆锥形成的统称为圆锥曲线。这节课我们学习其中的一种椭圆，椭圆是如何定义的呢？

设计意图：本环节由实例引入，让学生形成椭圆的感性认识，感受数学的应用价值。

二、尝试探究，形成概念

问（1）圆是如何定义的？

回答：它是平面内到定点的距离等于常数的点的轨迹。

问（2）椭圆是否也是满足一定条件的点的轨迹呢？如果是，它满足的条件是什么？

学生实验：拿一根无弹性绳子，将绳子两端固定，拉紧绳子，移动笔尖，画图。

问（3）：（1）画出的轨迹是什么？

（2）笔尖（动点）满足的几何条件是什么？为什么？

教师指出：笔尖到两固定点的距离在变，但它到两固定点距离的和等于绳子长度。 问（4）：你能给椭圆下一个定义吗？

定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两个焦点的距离叫椭圆的焦距。 问（5）：你认为椭圆的定义关键处有哪些？

①平面内（不是平面外）

②与两个定点距离的和等于常数（两个定点，一个定值）

③常数大于| F1F2|（分析小于或等于| F1F2|是什么结果）

设计意图：本环节通过实验展示椭圆的产生过程，发现椭圆的几何特征，挖掘出椭圆的定义。

三、标准方程的推导

我们了解了椭圆的定义，下一步我们来研究它的方程，在上一节大家学习了坐标法求曲线的方程。

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问（1）：用坐标法求曲线方程的一般步骤是什么？

建系设点，确定条件，列方程，化简，证明

思考：你认为怎样选择坐标才能使椭圆的方程简单？

学生回答：从经过F1F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。

教师说明：正确建系是建立曲线方程的关键之一，一般可利用曲线的几何特征，从“对称”、“简洁”等角度思考建系。

1、建系设点

以过F1F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为

y轴。设M(x,y)是椭圆上任意一点，焦距|F1F2|=2c，那么

F1(—c，0)，F2(c，0)，设|M F1|+|MF2|=2a

2、列方程

由椭圆的定义P={M|| M F1|+|MF2|=2a}

因为| M F1|=(x c)2 y2,| M F2|=(x c)2 y2 所以(x c)2 y2+(x c)2 y2=2a

问（2）：这个方程如何化简？（请学生完成后教师再进行说明）

教师说明：这个方程形式复杂，有两个根式，一般地方程中有一个根式时，把其它项移到另一边平方；方程中有两个根式时，使一边保留一个根式，其它的移到另一边再平方。

3、化简

(x c)2 y2=2a —(x c)2 y2

两边平方，整理得a2—cx=a(x c)2 y2

再两边平方，整理得(a2—c2)x2+a2y2=a2(a2—c2)

x2y2

两边同除以a(a—c)得2 2=1(a>c) ① aa c2222

请学生动手完成化简过程，观察经过两次平方后得到的是否是课本上的结果，强调两次整理的方法。

问3：方程中的常数a, c, a2—c2在椭圆中对应的几何图形是什么呢？ 思考：观察下图，你能从中找出表示a. c. a2 c2的线段吗？

|P F1|=|PF2|=a |O F1|=|OF2|=c |PO|=a2 c2

令b= |PO|=a2 c2 x2y2

①式为2 2=1（a>b>0） ② ab

教师说明：椭圆上的点的坐标都满足方程②，以方程②的解为坐标的点都在

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椭圆上，所以②是椭圆方程，我们把它叫做椭圆的标准方程。

教师指出：方程表示的椭圆

①焦点在x轴上

②焦点在F1(—c，0)，F2(c，0)

③c2=a2—b2

设计意图：在探索方程的过程中，引导学生推导出椭圆的标准方程，充分体现坐标法思想，锻炼了学生化简变形能力。

思考：如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别为(0,—c)， (0,c)，a, b意义同上，那么椭圆方程是什么？

y2x2

引导学生由定义发现:2 2=1（a>b>0） ab

|M F1|+|MF2|=(y c)2 x2+(y c)2 x2

与前面对比只要将x, y互换即可（要求学生课后推导验证）

教师指出：①焦点在y轴上

②F1(0,—c)，F2(0,c)

③c2=a2—b2

形式上特点：左边平方和，右边为1

问（4）：如果给出一个方程，你如何判断焦点的位置以及确定焦点的坐标。

四、例题讲解

完成例1后，教师指出：当焦点在x轴上，x2分母大；当焦点在y轴上，y2分母大，所以可以结合分母大小确定焦点的位置。

例1：判断下列各椭圆焦点位置，并说出焦点坐标。

x2y2

（1）=1 焦点在x轴上F1(—2, 0)，F2(2, 0) 42

x2y2

（2）=1 焦点在y轴上F1(0,—1)，F2(0,1) 34

（3）4x2+9y2=1 焦点在x轴上F1(—, 0)，F2(, 0) 66

y2

（4）x+=1 焦点在y轴上F1(0,—)，F2(0,3) 42问（1）：反之，你能结合焦点位置确定方程形式吗？

x2y2

焦点在x轴上 2 2=1（a>b>0） ab

y2x2

焦点在y轴上 2 2=1（a>b>0） ab

获奖教案

例2：已知椭圆焦点F1(—2, 0)，F2(2, 0)并且经过点(

方程

请学生完成解答过程 53,—)，求它的标准22

x2y2

解：因为焦点在x轴上，所以设它的标准方程为2 2=1（a>b>0） ab

5353由椭圆的定义知2a=( 2)2 ( )2+( 2)2 ( )2=2 2222

所以a=

又因为c=2 所以b2=a2—c2=6 x2y2

因此，椭圆标准方程为=1 106

问（3）：你还能用其它方法求它的方程吗？哪种方法简单？ x2y2

另法：2 2=1（a>b>0） ab

53,—)在椭圆上 22

359

所以2 2=1 ① ab

又因为c=2，所以a2—b2=4 ②

联立①②得a2=10, b2=6 因为点(

x2y2

因此，椭圆标准方程为=1 106

教师指出：求椭圆的标准方程方法：①定义法②待定系数法。

步骤第一步确定焦点位置，第二步确定a, b, c的大小。

设计意图：转化新知，通过思考实践让学生总结出求椭圆标准方程的两种方法①定义法②待定系数法；另外对求椭圆方程的步骤有一个了解。

五、巩固训练

本节练习1，2

设计意图：巩固所学，深化提高

六、课堂小结

学生小结

（1）椭圆的定义

（2）椭圆的标准方程

（3）求椭圆的标准方程的方法。

教师汇总：

获奖教案

重点、定义及标准方程

难点：标准方程的推导与化简

七、布置作业

习题2、2A组1、2