测量误差及数据处理

主讲人：项霞 四川大学水利水电学院 二零一零年八月

测量误差及数据处理

第 七 讲①误差的定义及分类 衡量观测值精度的指标(重点) ②衡量观测值精度的指标(重点) ③ 误差传播定律(难点) 误差传播定律(难点) ④平均值及其中误差

本次授课 目的和要求

本次授课的重 点与难点分析

衡量观测值精度的指标 误差传播定律

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一、 测量误差的定义及其来源1、测量误差的定义 被观测量客观上存在一个真实值，简称真值。 被观测量客观上存在一个真实值，简称真值。对该量进行观测得到 观测值。观测值与真值之差为真误差， 观测值。观测值与真值之差为真误差，即 真误差=观测值真误差=观测值-真值

=l X — 真误差 l — 观测值 X — 真值

在测量工作中，对某量的观测值与该量的真值间存在着必然的差异， 在测量工作中，对某量的观测值与该量的真值间存在着必然的差异，这 个差异称为误差。 个差异称为误差。但有时由于人为的疏忽或措施不周也会造成观测值与 真值之间的较大差异，这不属于误差而是粗差。 真值之间的较大差异，这不属于误差而是粗差。误差与粗差的根本区别 在于前者是不可避免的，而后者是有可能避免的。 在于前者是不可避免的，而后者是有可能避免的。

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2、测量误差的来源

测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、 测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术 水平和仪器本身构造的不完善等原因， 水平和仪器本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差 的产生。通常把测量仪器 观测者的技术水平和外界环境三 测量仪器、 的产生。通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三 个方面综合起来，称为观测条件 观测条件。 个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想和不断变 是产生测量误差的根本原因。 化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件相同的各 次观测，称为同精度观测；观测条件不同的各次观测， 次观测，称为同精度观测；观测条件不同的各次观测，称为 不同精度观测。 不同精度观测。 误差通常通过多余观测产生的差异表现出来。 误差通常通过多余观测产生的差异表现出来。

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具体来说，测量误差主要来自以下三个方面： 具体来说，测量误差主要来自以下三个方面： (1) 外界条件 主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以 主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、 及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差

。 及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。 (2) 仪器条件 仪器在加工和装配等工艺过程中， 仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满 足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。 足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。 (3) 观测者的自身条件 由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同， 由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会 在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。 在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。

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二、误差分类

测量误差按其对测量结果影响的性质， 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为 粗差 系统误差 偶然误差。 偶然误差。

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1、粗差粗差也称错误， 粗差也称错误，是由于观测者使用仪器不正确或疏忽大 或因外界条件发生意外的显著变动引起的差错。 意、或因外界条件发生意外的显著变动引起的差错。

粗差数值偏大，使观测结果显著偏离真值。 粗差数值偏大，使观测结果显著偏离真值。

严格遵守测量规范、 严格遵守测量规范、工作仔细谨慎并对观测结果进行必 要的检核可以避免和发现粗差。 要的检核可以避免和发现粗差。

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2、 系统误差在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测， 在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出 现的大小和符号均相同或按一定的规律变化， 现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为 系统误差。 系统误差。 系统误差一般具有累积性。 系统误差一般具有累积性。 系统误差产生的主要原因之一， 系统误差产生的主要原因之一 ， 是由于仪器设备制造不完 善。

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例如： 例如： 用一把名义长度为50m的钢尺去量距， 50m的钢尺去量距 用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定钢尺的实际 长度为50.005 m,则每量一尺，就带有+0.005 m的误差 + 的误差( 长度为50.005 m,则每量一尺，就带有+0.005 m的误差(“+” 表示在所量距离值中应加上),丈量的尺段越多，所产生的误 表示在所量距离值中应加上) 丈量的尺段越多， 差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。 差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。

再如： 再如： 在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行而产生夹角时， 在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行而产生夹角时， *i″/ρ″ 206265″ 对水准尺的读数所产生的误差为 L*i″/ρ″ ( ρ″=206265″ , 是一弧度对应的秒值) 它与水准仪至水准尺之间的距离L 是一

弧度对应的秒值),它与水准仪至水准尺之间的距离L成正 所以这种误差按某种规律变化。 比，所以这种误差按某种规律变化。

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系统误差具有明显的规律性和累积性， 系统误差具有明显的规律性和累积性，对测量结果的影响很 但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律， 大。但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律，所以可 以采取措施加以消除或减少其影响： 以采取措施加以消除或减少其影响：

(1)测定其大小，对观测值加以改正 测定其大小， (2)采用对称观测的方法 (3)检校仪器

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3、 偶然误差 在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测， 在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现 的大小和符号均不一定，则这种误差称为偶然误差， 的大小和符号均不一定， 则这种误差称为偶然误差， 又称为随 机误差。 机误差。 例如，用经纬仪测角时的照准误差，钢尺量距时的读数误差等， 例如，用经纬仪测角时的照准误差，钢尺量距时的读数误差等， 都属于偶然误差。 都属于偶然误差。 偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实不能预知其出 偶然误差，就其个别值而言， 现的大小和符号。但若在一定的观测条件下， 现的大小和符号 。但若在一定的观测条件下，对某量进行多次 观测，误差列却呈现出一定的规律性，称为统计规律。而且， 观测， 误差列却呈现出一定的规律性，称为统计规律。而且 ， 随着观测次数的增加，偶然误差的规律性表现得更加明显。 随着观测次数的增加，偶然误差的规律性表现得更加明显。

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例如：某一测区在相同条件下观测了358个三角形的全部内 例如：某一测区在相同条件下观测了358个三角形的全部内 358 计算358个三角形内角观测值之和的真误差， 358个三角形内角观测值之和的真误差 角，计算358个三角形内角观测值之和的真误差，将真误差 取误差区间为3 ,并按绝对值大小进行排列， 取误差区间为3”,并按绝对值大小进行排列，分别统计在各 区间的正负误差出现的频率k 区间的正负误差出现的频率k/n,结果列于下表 ：

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由上表统计总结出偶然误差具有如下四个特征： 由上表统计总结出偶然误差具有如下四个特征： 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值( ① 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(本 例为24 24″ 例为24″); 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(或概率大) ② 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(

或概率大); 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等； ③ 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等； 在相同条件下，同一量的同精度观测，其偶然误差的算术平均值， ④ 在相同条件下，同一量的同精度观测，其偶然误差的算术平均值， 随着观测次数的无限增大而趋于零。 随着观测次数的无限增大而趋于零。

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第一个特性说明偶然误差的“有界性” 第一个特性说明偶然误差的“有界性”。它说明偶然误差的 绝对值有个限值，若超过这个限值， 绝对值有个限值，若超过这个限值，说明观测条件不正常或 有粗差存在； 有粗差存在； 第二个特性反映了偶然误差的“ 密集性” 即越是靠近0 第二个特性反映了偶然误差的 “ 密集性 ” , 即越是靠近 0″ , 误差分布越密集； 误差分布越密集； 第三个特性反映了偶然误差的“对称性” 即在各个区间内， 第三个特性反映了偶然误差的“对称性”,即在各个区间内， 正负误差个数相等或极为接近； 正负误差个数相等或极为接近； 第四个特性反映了偶然误差的“抵偿性” 第四个特性反映了偶然误差的“抵偿性”,它可由第三特性 导出，即在大量的偶然误差中，正负误差有相互抵消的特征。 导出，即在大量的偶然误差中，正负误差有相互抵消的特征。 因此， 无限增大时，偶然误差的算术平均值应趋于零。 因此，当n无限增大时，偶然误差的算术平均值应趋于零。

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6.2、 6.2、 衡量观测值精度的指标 测量成果中都不可避免地含有误差， 在测量工作中， 测量成果中都不可避免地含有误差 ， 在测量工作中 ， 使用 精度”来判断观测成果质量的好坏。 “精度”来判断观测成果质量的好坏。 所谓精度，就是指误差分布的密集或离散程度。 所谓精度 ，就是指误差分布的密集或离散程度。误差分布密 误差就小，精度就高；反之，误差分布离散，误差就大， 集，误差就小，精度就高；反之，误差分布离散，误差就大， 精度就低。 精度就低。 衡量观测值精度的指标主要有： 衡量观测值精度的指标主要有： 指标主要有 中误差 相对误差 极限误差

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一、 中误差及其计算 1 中误差的定义 在相同的观测条件下，对同一未知量进行n次观测， 在相同的观测条件下，对同一未知量进行n次观测，所得各 个真误差平方的平均值，再取其平方根，称为中误差， 个真误差平方的平均值，再取其平方根，称为中误差，用m 表示， 表示，即：

[ ] m=± n式中[ΔΔ]为真误差Δ的平方和， 为观测次数。 式中[ΔΔ]为真误差Δ的平方和，n为观测次数。

此式为 定义式。 定义式。注意： 注意： 一组观测中的每一个观测值，都具有相同的精度。 一组观测中的每一个观测值，都具有相同的精度。 也就是说，中误差仅是一组真误差的代表值， 也就是说，中误差仅是一组真误差的代表值，代表了这一组测量中任一个 观测值的精度。所以，通常把m称为观测值中误差或一次观测值中误差。 观测值的精度。所以，通常把m称为观测值中误差或一次观测值中误差。