高三数列优秀综合题集锦

赵玉苗

1.已知数列{an}满足a1 1,a2 3,an 1 4an 3an 1(n N 且n 2)． （Ⅰ）证明数列{an 1 an}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列 bn 的前n项和为Sn，且对一切n N，都有

bb1b2

n 2n 1 成立，求Sn. a12a2nan

解：（Ⅰ）由an 1 4an 3an 1可得an 1 an 3(an an 1) 所以数列{an 1 an}是以2为首项，3为公比的等比数列

n 1

故有an (an an 1) (an 1 an 2) (a2 a1) a1 2(1 3) 1 3n 1

1 3

（Ⅱ） 由 b1 b2 bn 2n 1可知当n 1时,b1 3,b1 3,S1 3

a1

2a2

nan

a1

当n 2时,bn 2n 1 (2n 1) 2,bn 2n 3n 1

nan

Sn b1 b2 bn 3 2 2 3 2 3 32 2 n 3n 1 2(1 30 2 31 3 32 n 3n 1) 1

设x 1 30 2 31 3 32 n 3n 1

3x 1 31 2 32 (n 1) 3n 1 n 3n

2x n 3n (3n 1 3n 2 30) n 3n 3

n

1

2

1313

Sn (n ) 3n 综上Sn (n ) 3n ,n N

2222

2.已知数列{an}的前n项和Sn

（1）求{an}的通项公式；

3*

(an 1)，n N． 2

（2）若对于任意的n N，有k an 4n 1成立，求实数k的取值范围．

*

33

(an 1)，n N，所以Sn 1 (an 1 1)． 22

33

两式相减，得Sn 1 Sn (an 1 an)，即an 1 (an 1 an)，

22

解：（1）因为Sn ∴an 1 3an，n N． 又S1

33

(a1 1)，即a1 (a1 1)，所以a1 3． 22