浅谈复变函数与积分变换在电气工程及其自动化专业学习中的应用

浅谈复变函数与积分变换在电气工程及其自动化专业学习中的应用

复变函数论文

浅谈复变函数与积分变换在电子信息工程专业学习中的应用

专业名称： 电子信息工程

班 级： 0934091-75

姓 名： 郑 亚

浅谈复变函数与积分变换在电气工程及其自动化专业学习中的应用

摘要：“复变函数与积分变换”既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的强有力的工具复变函数起源于分析、力学、数学物理等理论与实际问题，具有鲜明的物理背景。“复变函数与积分变换”课程是电气工程及其自动化专业必修的专业基础课，是学习“电路理论”、“电机学”、“信号与系统”等多门后继专业课的基础，学习这门课程对于培养学生的专业能力、创新精神以及未来的业务素质都是非常重要的。建立在复变函数理论之上的积分变换方法，通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系，既能简化计算，又具有明确的物理意义，在电力工程、通信和控制领域、信号分析和图像处理、语音识别与合成等领域中有着广泛的应用。

关键词：复变函数;积分变换;电工程及其自动化;应用

《复变函数与积分变换》这门课程主要是两大部分的内容, 一是复变函数的相关知识, 二是傅里叶变换与拉普拉斯变换这两个主要的积分变换。在电气工程及其自动化专业中, 对信号处理时的传递函数理论分析、各类信号处理中的时- 频域理论分析等内容要应用复变函数中的方法与拉普拉斯变换进行处理; 对线性系统的理论分析要应用拉普拉斯变换进行。因此《复变函数与积分变换》这门课程对该专业的学习起着重要作用,下面仅就几个简单问题进行分析。

一 、拉普拉斯变换在互感电路分析中的应用

互感在工程中应用极其广泛,因此对互感电路进行分析非常必要. 常见的基本分析方法有时域分析法、频域分析法、复频域分析法. 由于互感电路本身的复杂性,采用时域或频域进行分析都很繁琐. 本文从复频域角度,首先对互感元件进行s域变换,然后对互感电路进行复频域分析.

（1） 拉普拉斯变换

对于具有多个动态元件的复杂电路,用直接求解微分方程的方法比较困难. 例如对于一个n阶方程,直接求解时需要知道变量及其各阶导数在t = 0 +时刻的值,而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在t = 0 +时刻的值,从这些值求初始条件的工作量很大. 拉普拉斯变换和傅立叶变换都是积分变换,但它比傅立叶变换有更广泛的适应性,是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法之一[1 - 4 ]. 在傅立叶变换中, 引入衰减因子e-σt (σ为实常数) ,根据不同信号的特征,适当选取σ的值, 使乘积信号f ( t) e-σt当t→ 〒∞时信号幅度趋近于0,从而使f ( t) e-σt的定义式积分收敛.

∞

- ∞∫f ( t) e-σt e- jωt dt = f ( t) e- (σ+jω) t dt (1)

其积分结果为s ( s =σ+ωj )的函数,则F ( s) = f ( t) e- st dt

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即为双边拉普拉斯变换对或复傅立叶变换对. 引入拉普拉斯变换后,傅立叶变换中不能解决的零初始状态下的系统响应也可迎刃而解.

（2） 电路的s域模型

分析电路的基本依据是基尔霍夫定律(KCL 和KVL)和元件端电压与其电

流的约束关系. 在时域分析中,利用微分方程研究电路,当电路的网络结构复杂(支路和节点较多)时利用微分方程显得相当繁琐. 为简化分析过程,可先对电路进行s域变换,再把变换后的电压与电流用KVL和KCL联系起来. 2. 1 s域元件模型[1 - 2 ]

R、L、C元件的s域关系为

VR ( s) = R IR ( s) , VL ( s) = sL iL ( s) - L iL (0) ,

VC ( s) =1/sC IC ( s) +1/svC (0) .

其中sL,1/sC,因具有阻抗的量纲,称为电感和电容的等效阻抗. L iL (0) , 1/s vC (0)是由初始条件引起的附加电源. R、L、C元件的s域模型,可用电压源

与等效阻抗的串联表示,如图1所示

.

图1 R、L、C元件的s域模型

也可以用电流源与等效阻抗的并联表示,如图2所示.

图2 R、L、C元件的s域模型

2. 2 互感元件的s域模型

互感元件时域模型如图3所示,其时域关系为

u1 ( t) =L1*di1 ( t)/dt+M *di2 ( t)/dt,

u2 ( t) =L2*di2 ( t)/dt+M *di1 ( t)/dt.

对以上两式两边进行拉普拉斯变换可得到其s域关系.

V1 ( s) =L1 [ sI1 ( s) - i1 (0 - ) ] +M [ sI2 ( s) - i2 (0 - ) ], V2 ( s) =L2 [ sI2 ( s) - i2 (0 - ) ] +M [ sI1 ( s) - i1 (0 - ) ]. 互感元件s域模型如图4所示.

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也可以用互感化除后的电路, 其s域模型如下图5所示

.

图5 互感化除后互感元件s域模型

2. 3 电路定理的推广

时域中的KCL 定理为Σi ( t) = 0 , 变换到s域为ΣI ( s) = 0 ;

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时域中的KVL 定理为ΣV ( t) = 0 , 变换到s域为ΣV ( s) = 0 ;

在线性稳态电路中各种分析方法在进行s域分析时均适用.

(3) 利用元件s域模型求响应

根据上面的讨论,我们可以求图6所示电路开关闭合

后的电流i1 ( t) . 当t≥0时该电路的s域等效电路图如图7

所示. 当t < 0时, i1 ( t) = i2 ( t) = 0 A, 即i1 ( 0 - …… 此处隐藏：3945字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……