前言

解肖斌

因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

201abc111xyx y

x yx. （1）1 4 ； （2）bca; （3）abc； （4）y

222

183cababcx yxy201

解 （1）1 4 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1)

183

= 24 8 16 4= 4

abc

（2）bca acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3

cab

111

（3）abc bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a)

a2b2c2

xyx y

x yx x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 （4）yx yxy

3xy(x y) y3 3x2y 3y2x x3 y3 x3 2(x3 y3)

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n 1) 2 4 … (2n)； （6）1 3 … (2n 1)(2n)(2n 2) … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为

n(n 1)

： 2

3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …

(2n 1) 2，(2n 1) 4，(2n 1) 6，…，(2n 1)(2n 2)(n 1)个

（6）逆序数为n(n 1)

3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… …

(2n 1) 2，(2n 1) 4，(2n 1) 6，…，(2n 1)(2n 2)(n 1)个

4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …

(2n) 2，(2n) 4，(2n) 6，…，(2n)(2n 2)(n 1)个

3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.

解 由定义知，四阶行列式的一般项为( 1)ta1p1a2p2a3p3a4p4，其中t为p1p2p3p4的逆序数．

由于p1 1,p2 3已固定，p1p2p3p4只能形如13□□，即1324或1342.对应的t分别为

0 0 1 0 1或0 0 0 2 2

a11a23a32a44和a11a23a34a42为所求.

4.计算下列各行列式：

4 1（1）

10 0

解

1

2512021

4 21

3 12

；（2） 0 127 50

4

236

1 a

abacae 11 ；（3）bd cdde；（4）

2 0bfcf ef 2 0

1

b 1001c 1

0 0 1 d

4

1(1)

012512021442c2 c310c4 7c370 1

2302 4 1 104 110

02

2 ( 1)4 3=12 2 =12

2 3 14314

10

c2 c3c1 2c3

9910

00 2=0 1714

213 1(2)

1250

42361

1c4 c222213 1125042360

2r4 r202213 1122142340

2r4 r100213 11200423002=0 00

abacae bce 111

(3)bd cdde=adfb ce=1 11=4abcdef

bfcf efbc e11 1

a 1(4)

001b 1001c 1001 ab0r1 ar2 1b10 1d00a

1c 10

aba0

c1 =( 1)( 1)2 1 1

1

0 1d

d

c3 dc2

abaad

abad

1c1 cd=( 1)( 1)3 2=abcd ab cd ad 1

11 cd

0 10

ax byay bzaz bxxyza2abb2

5.证明:(1)2aa b2b=(a b)3;(2)ay bzaz bxax by=(a3 b3)yzx;

az bxax byay bzzxy111

a2

b2(3)2

cd2(a 1)2(b 1)2(c 1)2(d 1)2(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2(a 3)2(b 3)2

0;

(c 3)2(d 3)2

1111abcd

(a b)(a c)(a d)(b c)(b d) (c d)(a b c d); (4)2

ab2c2d2a4b4c4d4x 100x 1(5)

000anan 1an 2

证明

0000

xn a1xn 1 an 1x an. x 1a2x a1

a2ab a2b2 a22c2 c1ab ab2 a23 1ab a(1)左边 (b a)(b a)2ab a2b 2a ( 1)

12b a2b 2ac3 c1

100

(a b)3 右边

xay bzaz bxyay bzaz bx

按第一列

ayaz bxax by bzaz bxax by (2)左边

分开

zax byay bzxax byay bz

分别再分

xay bzzyzaz bxxyzyzx

分别再分

a2yaz bxx 0 0 bzxax bya3yzx b3zxy zax byyxyay bzzxyxyz

xyzxyz

a3yzx b3yzx( 1)2 右边

zxyzxy

a2

b2

(3) 左边 2

cd2a2b2c2d2

(2a 1) (2b 1) (2c 1) (2d 1)abcd4a 44b 44c 44d 4

(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2

(a 3)2

(b 3)2c2 c1(c 3)2c3 c1(d 3)2c4 c1

11114a 44b 44c 44d 4

a2b2c2d2

2a 12b 12c 12d 14a 44b 44c 44d 46a 96b 9

6c 96d 9

a2

按第二列b2

2

分成二项c2

d26a 9a26b 9b2

6c 9c26d 9d2

6a 96b 9

6c 96d 9

c3 4c2a2

第一项

c4 6c2b2c3 4c2c2

第二项

c4 9c2d2

abcd4444

9a29b2

9c29d2

11114a4b4c4d6a6b

0 6c6d

1000

b ac ad a

ab ac ad a2222

b ac ad2 a2 (4) 左边 2222222=ab ac ad a

b2(b2 a2)c2(c2 a2)d2(d2 a2)4444444

ab ac ad a

111

c ad a =(b a)(c a)(d a)b a

b2(b a)c2(c a)d2(d a)

100

=(b a)(c a)(d a) b a c bd b

b2(b a)c2(c a) b2(b a)d2(d a) b2(b a)

=(b a)(c a)(d a)(c b)(d b)

11

(c2 bc b2) a(c b)(d2 bd b2) a(d b)

=(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d)

(5) 用数学归纳法证明

当n 2时,D2

x 1

x2 a1x a2,命题成立.

a2x a1

假设对于(n 1)阶行列式命题成立，即

Dn 1 xn 1 a1xn 2 an 2x an 1,

则Dn按第1列展开:

1

x

Dn xDn 1 an( 1)n 1

1

0 1 1

00 x

00

xDn 1 an 右边 1

所以，对于n阶行列式命题成立.

6.设n阶行列式D det(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90 、或依副对角线翻转，依次得

an1 anna1n annann a1n

D1 ，D2 ，D3 ，

a11 a1na11 an …… 此处隐藏：6264字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……