数学建模论文++饮酒驾车的数学模型

一、问题重述

关键词：微分方程、模型。

本问题主要是分析驾驶员在喝过一定量的酒后，血液中酒精含量上升，影响司机驾车，所以司机饮酒后需经过一段时间后才能安全驾车，国家标准新规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，司机大李在中午12点喝下一瓶啤酒，6小时后检查符合新标准，晚饭地其又喝了一瓶啤酒，他到凌晨2点驾车，被检查时定为饮酒驾车，为什么喝相同量的酒，两次结果不一样？讨论问题：

1. 对大李碰到的情况做出解释；

2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：

1） 酒是在很短时间内喝的；

2） 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？

5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据

1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：

时间(小时) 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

酒精含量

时间(小时) 30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

7 4 酒精含量 38 35 28 25 18 15 12 10 7

二、模型假设

1、 酒精从胃转移到体液的速率与胃中的酒精浓度成正比。

2、 酒精从体液转移到体外的速率与体液中的酒精浓度成正比。

3、 酒精从胃转移到体液的过程中没有损失，且不考虑误差。

三、符号说明

k :酒精从体外进入胃的速率；

f (t):酒精从胃转移到体液的速率；

f (t):酒精从体液转移到体外的速率；

X(t):胃里的酒精含量；

Y(t)：体液中酒精含量；

V :体液的容积；

K :酒精从胃转移到体液的速率系数；

K :酒精从体液转移到体外的速率系数；

C(t):体液中的酒精浓度。

：短时间喝酒情况下进入胃中的初始酒精量。

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T：较长时间喝酒所用的时间或达到浓度最大值所需时间。

四、模型的分析与建立

（一）、模型分析：

假设酒精先以速率 进入胃中，然后以速率 从胃进入体液，再以速率f (t)从体液中排到体外。

（二）模型建立：找到C(t)与t的关系

用x(t)与y(t)分别表示酒精在胃、体液中的酒精量，c(t)表示酒精在体液中的浓度。根据前面的假设可知：

1.对胃建立方程： dx(t)=k0dt-f1(t)dt

可得：

利用一阶线性常微分方程求解，可以得到；

又因为 ，联合式可得：

2又对中心室可建立方程组如下；

同理：

因为 ，将其代入上式可得到：

利用微分求解：

又酒精浓度为酒精量与体液容积之比， ，即：

（其中 ， ， ， ）。

（三）模型的讨论：

情况一 1当酒是在较短时间内喝时

此时有 ， ， 。

由上可得： ， ，

因此有：

（其中 ）

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设K1>K2,因此可认为：

利用数表一：（喝下两瓶啤酒 取0.25小时以后）

通过Matlab进行曲线拟合可得：

>> t=[ 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16];

y1=[82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4];

y2=log(y1);

polyfit(t,y2,1);

ans =

-0.1940 4.7753

，

根据查阅资料可知：一瓶啤酒的酒精量一般为640ml，密度为810mg/ml酒精浓度不超过4.5%，所以两瓶啤酒的酒精总量

由于体重为70kg,体重的65%左右，体液密度为1.05mg/ml 毫克/百毫升。

由 可求得： 。

可得短时间内喝下两瓶啤酒时关系式如下；

用Matlab软件画出图形为：

情况二

1当酒是在较长时间内喝时

我们可将其进行分段讨论。当t 时，同样可以得到：T为喝酒总用时，取2小时。此时 ，x（0）=0，y（0）=0

因为：

可知

由上式可以求得：

A =277.50259 B3=28.0386772

所以可得 :

2当t 时，则此时血液中的浓度与时间关系式如下：

其中

综上所述，可得，当 时

五、问题的解答

问一：

假设大李第一次喝酒是在短时间内喝的，根据所建立模型，符合情况一

（一瓶啤酒）

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当 时，可以求得 ，小于200mg/百毫升，所以第一次检查时不是饮酒驾驶。

紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车。第一次喝完6小时后残余18.2778mg/百毫升，又过8小时残余3.92mg/百毫升，因此晚六点喝酒不是短时间喝完，因此可知，18.2778+3.92=22.1978＞

20。因此为饮酒驾车。

问二

（1）当酒是在较短时间内喝时，符合情况一

所以：三瓶啤酒时

当 时，可求得 。

所以当驾驶员在较短时间内喝下三瓶啤酒时，必须经过11.261小时后开车才不会被认为是饮酒驾车。

（2）当酒是在较长时间内喝时，符合情况二

当 时，可以求出 小时，所以当驾驶员在较长时间（T为二小时）喝下三瓶啤酒后，必须经过13.407小时后开车才不被认为是饮酒驾车。

问三：

（1） 短时间内喝酒时，符合情况一

当 的导数等于0时，可解得：

所以当t=1.23时， 取得最大值。

（2）、当酒是在较长时间内喝时，符合情况二

在第二小时时含量最高。

问四:

假设天天喝酒,每次喝酒为短时间喝完。

C（t）= ＜20，可知n＜2

即每天喝小于两瓶符合。

给司机朋友的忠告

司机朋友，适量饮酒有益健康，过多地饮酒对身体的不利影响很大，特别是肝，容易患酒精肝，对心脏也不好。所以建议你喝酒时不要空腹，适量吃些小菜，下酒菜吸收酒精，这样有助于保护你的胃。在你感觉身体不舒服时,不能喝酒。每次喝酒最好一瓶，对车辆的驾驶人员,出车前不能饮酒。司机喝完酒后最好6小时后出车。

有些司机朋友可能会问，为什么喝完酒后不能驾车﹖科学家曾做过实验，一个人喝完酒后的反应速度大大降低，这样就加大了交通隐患，这样既不利于您自身的安全，而且也对周围的交通和社会造成了威胁。

掌握好饮酒时间,这不仅对您身体和健康有利，也是对他人生命的负责。希望广大的司机朋友们看了这篇文章后能有所启示，适量的饮酒。

参考文献

[1]李南南 吴清 曹辉林 MATLAB简明教程 北京：清华大学出版社 ，2006

[2] 朱道元主编 数学建模案例精选 北京：科学出版社，2003

[3] 赫孝良等[选编] 数学建模竞赛赛题简析与论文点评 西安：西安交通大学出版社，2002

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