学校代码：ｌ监业

分类号：盟堑研究生学弓密级１２１２３０３３６５尤

东北ｈ予蕴六莩

硕士学位论文

在函数教学中有效渗透数掌思想方法

的研究与实践

ｒｆｌｈｅＲｅｓｅａｒｃｈａｎｄＰｒａｃｔｉｃｅＯｉｌＥｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙＩｎｆｉｌｔｒａｔｉｎｇ

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作者：路洪香

指导数师

学科专、ｌｋ

研究厅向

学位类型李淑文副教授教育硕士学科教学（数学）教育硕士

东北师范大学学位评定委员会２００７年５月

中文摘要

数学思想是对数学知识和方法本质的认识，数学方法是解决数学问题、体现数学思想的手段和工具。数学思想方法是数学基础知识的精髓，是形成学生的良好的认识结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁。这恰好是当前我国实施创新教育和素质教育的重要内容，同时也是数学课自身属性和教学特点所决定的。为此，在本文中笔者依据国际教育界最新的理论研究成果，从数学学科的特点出发，结合自己的教学实践，就高中数学教学中常见的数学思想方法及其在具体的教学内容中的渗透，培养学生运用数学思想方法的能力等进行了探讨。

本文首先对数学思想方法的界定、分类及数学思想方法与数学知识的关系，数学思想方法教学的心理学意义进行了探讨；其次阐述了在教学中如何把握数学思想方法及教学的主要方式；再次针对高一的具体教学内容介绍自己在数学思想方法教学中的研究与实践。本文主要从数学思想方法的界定、分类及渗透教：学的方式、原则，在函数教学内容中的研究实践等三大方面系统地论述了在高中数学教学中如何渗透数学思想方法，培养学生的数学素质与创新能力的研究与实践，并提出了自己的见解。

最后，本文就在高中数学教学中如何渗透数学思想方法，培养学生的数学素质与创新能力方面应注意的问题进行了阐述并得出结论。关键词：数学思想方法；数学教学；函数

Ａｂｓｔｒａｃｔ

Ｍａｔｈｓｉｄｅａｉｓｔｈｅｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎｏｆｍａｔｈｓｋｎｏｗｌｅｄｇｅａｎｄｔｈｅｂａｓｉｃｓｏｆｉｔ．ＭａｔｈｓｍｅｔｈｏｄｉｓｔｈｅｔｏｏｌｉｎｗｈｉｃｈｗｅＣａｌｌｓｏｌｖｅｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｒｅｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅｍａｔｈｓｉｄｅａ．Ｍａｔｈｓｍｅｔｈｏｄｏｆｉｄｅａｉｓｔｈｅｓｏｕｌｐｆｂａｓｉｃｋｎｏｗｌｅｄｇｅ

ｉｔｉｓａｌｓｏａａｎｄｔｈｅｍｅｄｉａｗｈｉｃｈｃａｎｆｏｒｍｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｓｍｄｅｎｔｓ．ＡｎｄｂｒｉｄｇｅｗｈｉｃｈＣａｎｂｅｔｕｎｎｅｄｉｎｔｏｃａｐａｂｉｌｉｔｙ．Ｔｈｉｓｉｓｊｕｓｔｔｈｅｍａｉｎｃｏｍｅｎｔｏｆｅｎｆｏｒｌｉｎｇｃｒｅａｔｉｖｉｔｙｅｄｕｃａｔｉｏｎ

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Ｆｉｓｔ，Ｉｄｏｒｅｓｅａｃｈｉｎｔｏｔｈｅ

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Ｋｅｙｗｏｒｄ：ＭａｔｈｓｉｄｅａａｎｄＭａｔｈｓｍｅｔｈｏｄ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｔｅａｃｈｉｎｇ；ｆｕｎｃｔｉｏｎＩＩ

独创性声明

本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究

工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致

谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，

也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使

用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已

在论文中作了明确的说明并表示谢意。

学位论文作者签名：珞ｉ基查日期：塑Ｉ：垒《：曼３

学位论文版权使用授权书

本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位

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学位论文。

（保密的学位论文在解密后适用本授权书）

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学位论文作者毕业后去向：

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引言

第一、数学学科的特点

数学是研究现实世界的空问形式和数量关系的学科，以其高度的抽象性为其特点。数学有自己独特的研究方法，研究标准和发展模式，数学对自然科学、社会科学及其他领域都有深远的影响，并向各个领域渗透，数学既是科学又是技术。

日本数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想与方法》中指出“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受数学知识，出校后不到一二年很快就忘掉了，然而不管从事什么业务工作，唯有深深铭刻于头脑的数学精神，数学的思维方法，研究方法、推理方法和着眼点，都随时的发生作用，使他们终身受益。”

第二、数学思想方法展现了中学数学教材的另一体系

中学数学教材，以概念、法则、公式及其应用构成了知识结构体系，这个体系以具体的、外展的形式表现；另外还有一般的，内含的数学思想与方法结构体系，两者既有区别又有联系，正是由于有了数学的思想与方法，数学知识就不再成为孤立的、零散的东西，数学方法不再是僵死的教条。

数学思想是对数学知识和方法本质的认识，数学方法是解决数学问题、体现数学思想的手段和工具。数学思想方法是形成学生的良好的认识结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁。

第三、从发展趋势来看

邓小平指出：“教育要面向现代化，面向世界，面向未来”。其核心是面向现代化。数学教育现代化主要是数学教育观念的现代化，教育内容的现代化，数学思想方法的现代化和教育手段的现代化。其中数学思想方法的现代化是一项关系全局的内容。现代科技，现代教育的发展需要转变数学教育观念，掌握科学的先进的数学思想方法。

第四、数学思想方法教育是培养２１世纪人才的需要

升学教育已经不能很好的适应国民经济对人才的需要，其突出的弊端是创造、开拓意识差，动手应用能力弱，束缚个性发展。转变升学教育为素质教育，从数学思想方法高度，从思维层次来培养人才，这样才能更好的适应２ｌ世纪市场经济的需要。加强数学思想方法的教学，是使学生增强数学观念、形成数学能力、提高数学素养的有效途径。只有学生掌握了一定的数学思想方法，有能力运用其处理数学以外的问题，才真正使学生终身受益。

第五、从数学教育的现状来看新中国成立以来，我国的教育成就巨大。进入８０年代以来，追求升学率和数学竞

赛热，是中国数学教育取得了举世瞩目的辉煌成就，但这种成绩的取得是我们为之付出了巨大的代价。我国中小学生负担太重，太多的付出却不能得到令人满意的回报。追求升学率，“题海战术”使学生身心健康发展受到了影响。

由国家教育委员会基础教育司制订、１９９６年５月第ｌ版的《全日制普通高级中学数学教学大纲（供实验用）》，在第２页“教学目的”中规定，“高中数学的基础知识是指高中数学的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”数学思想和方法作为基础知识在大纲中明确、肯定地提出来，尚属首次，足见数学思想方法及其如何教学的问题己引起教育职能部门的重视。而且２００５年《考试大纲》中明确提出：原来数学思想概括为四条，即函数与方程、数形结合、分类讨论与化归转化，现在增为７条，补增的三条是：特殊与一般，有限与无限，或然与必然的思想，而且将分类讨论变为分类整合。这足以见得数学思想方法及其教学与如何考察已提到日程上来。

这些都要求教育工作者必须首当其冲，成为数学思想方法及其教学的研究者、探索者，进丽成为有效的实施者。数学思想方法的研究，近年来也引起了数学界的很大重视。徐利治教授首先推出其专著《数学方法论选讲》，并主编了《数学方法论丛书》，指引我们有效的进行数学思想方法教学实践与研究。

古人云：“授人以鱼，不如授之以渔。”传授数学思想方法，就是教学生学数学、用数学的意识，这样才能使学生终生受益。数学教材中，不少题目隐含着常用的数学思想方法，这就是我ｔｆＪｉＪ｛ｌ练学生掌握解决问题的能力，摆脱“题海”战术，提高学生素质的有效的材料。因此，在数学教学中，我们要有效利用教材，挖掘其中隐含的数学思想方法，不断向学生渗透，努力形成学生自身的能力与素质。２

第一章数学思想方法

１．１数学思想方法的界定

数学思想方法是在数学科学的发展中形成的，它伴随着数学知识体系的建立而确立，它是数学知识体系的灵魂。

数学思想方法是对数学事实、数学概念、数学原理与数学方法的本质认识。它从属于哲学思想方法和一般科学思想方法，它是数学中具有奠基性、总括性的基础部分，含有传统数学思维方法的精华和现代数学思想方法的基本点，它的内容是随数学内容的发展而发展的，不是一成不变的。

１．１．１数学思想方法通常有狭义和广义两种理解

目前，关于数学思想方法有这样两种常见的理解：一是狭义的理解认为，数学思想方法所研究的对象是数学本身的论证、运算以及应用的思想方法和手段。一是广义的理解认为，数学思想方法研究的对象（除上述内容外）还应包括数学的对象、性质、特征、作用及其产生发展的规律。已形成共识的是，数学思想方法是从方法论的角度来研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现发明与创新等规律的一门学问。

数学思想方法是数学基础知识的精髓，是知识、技能转化为能力的桥梁。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。

１．１．２数学思想与数学方法的关系

数学思想，尚不成为一种专有名词，人们常用数学思想来泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果。例如坐标思想、极限思想、概率统计思想等。可是对这些例子来说，将思想换成方法同样适用。一般地蜕，数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴。而数学方法则是解决数学问题的手段，具有“行为规则”的意义和一定的可操作性。同一个数学成果，当用它去解决这个别问题时，就称之为方法；当论及它在数学体系中的价值和意义时，就称之为方法；当论及它在数学体系中的价蔡卜鹤．数学思想和数学方法【Ｊ】．中学数学．１９９７（９）

值和意义时，就称之为思想。例如“极限”，用它去求导数、求积分时，人们就说极限方法。当我们讨论它的价值，即将变化过程趋势用数值加以表示，使无限向有限转化时，人们就讲“极限思想”了，为了将这两重意思合在～起说，于是也有“极限思想方法”、“数学思想方法”之类的提法。Ｍ．克莱因（Ｍ．Ｋｌｅｉｎ）的巨著《古今数学思想》，其实说的都是“古今数学方法”，只不过从数学史角度看，人们更加注重那些数学大师们的思想贡献、文化价值，因而才称之为数学思想。

总之，欲将数学思想与数学方法严格区分开来是困难的。因此，人们常常对这两者不加区分，而统称为数学思想方法，这样会显得更为方便。中学数学中，出现的各种数学方法，都体现着一定的数学思想，反之数学思想又来源于基础知识与基本方法，又高于知识与方法，居于更高层次的地位，它指导知识与方法的运用，它能使知识向更高，更深层次发展。

１．１．３数学思想方法的定义

在中学数学中，数学思想方法就是一种分析问题、解决问题的思路，并为分析阀题与解决问题提供可操作的解题方法。

１．２数学思想方法的分类２

１．从接受的难易程度的角度可分为三个层次：

一是基本具体的数学方法，如配方法、换元法、待定系数法、归纳法与演绎法等；二是科学的逻辑方法，如观察、归纳、类比、抽象概括等方法，以及分析法、综合法与反证法等逻辑方法；

三是数学思想，如数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思维及化归与转化的思想。

２．数学思想方法还可以按其它方式进行分类。例如。胡炯涛在《数学教学论》中认为：最高层次的基本数学思想是数学教材的基础与起点，整个中学数学的内容遵循着基本数学思想的轨迹而展开。“符号化与变换思想”，“集合与对应思想”以及“公理化与结构思想”构成了最高层次的基本数学思想。他认为中学数学基本思想是指：渗透在中学数学知识与方法中具有普遍而强有力适应性的本质思想。归纳为十个方面的内容：符号思想、映射思维、化归思想、分解思想、转换思想ｔ参数思想、归纳思想、类比思想、演绎思想、模型思想。

３．总观整个高中教材，主要的数学思想方法有：抽象概括、化归、数学模型、优化思想、函数思想、数形结合、归纳猜想、分类、类比、特殊化、换元法、配方法、统计思想等。它们散见于整个教材之中，是贯穿于各个知识内容的主线，按照教材中所体现的数学思想方法，大体上可以分成以下几类：

锦州师范学院学报（自然科学版），１９９８－－１２．４２孙桂芝．加强数学思想方法教学提高学生素质［Ｊ］，

第一类技术型思想方法：如换元法、配方法、待定系数法。这类方法常常用于具体的解题过程，具有一定的操作步骤，表现出较强的程序性和操作性。

第二类逻辑型思想方法：如分类整合、演绎法、特殊化等。这类方法都具有确定的逻辑结构，具有精确的逻辑表达形式，表现出较强的统摄性和迁移性，比第一类高一层次。

第三类意识型思想方法：包括抽象概括、数学模型、化归思想、数形结合、特殊与一般，有限与无限，或然与必然的思想等。这类方法与数学知识的发生、发现过程紧密联系，是将现实世界进行数学化的重要方法，体现出数学内部的联系和统一，反映出人们对数学的总体认识。

１．３数学思想方法与数学知识的关系

从教材自身来看，数学知识是数学思想方法的载体，数学思想方法通过数学知识来显化，数学知识的形成又是数学思想方法运用的结果。数学知识主要包含数学语言、概念、定理、法则和范例。其中数学语言是数学思想方法的外壳，数学概念是数学思想方法的起点，数学概念的发展也得益于数学思想方法：数学定理的形成与论证过程均是人们使用数学思想方法的结果，因此，定理教学的实质是数学思想方法的教学：范例是数学思想方法形成的重要背景，而数学思想方法的应用通常表现在数学范例的解决过程之中。总之，数学知识和数学思想方法是数学科学中两个不可分割的范畴。就数学而言，就知识教知识不可取，脱离知识空谈数学思想方法也不可能。

１．４数学思想方法教学的意义３

美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理．”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的．”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分．下面从布鲁纳的基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义．

Ｉ．４．１掌握基本结构，优化认知结构

“懂得基本原理使得学科更容易理解”．心理学认为“由于认知结构中原有的有关３，布鲁纳．教育过程［Ｍ］．上海人民Ｈ；版社，１９７３

观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系。这种学习便称为下位学习．”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了．下位学习所学知识“具有足够的稳定性。有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去．学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容．１．４．２有利于记忆学科知识，避免机械学习

布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面。否则很快就会忘记．”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来．高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具．”

在数学学习过程中，新知识输入原数学认知结构以后，新知识和原数学认知结构中的有关知识相互作用，建立联系，使原数学认知结构得到充实和扩大，形成新的数学认识结构。但这种新旧知识间的相互作用，并不是在新知识输入时，新的意义一出现就告结束，这种相互作用还在继续进行，这种继续进行的相互作用就是数学记忆的心理机制。值得注意的是，这种新获得的联系和意义，并非是机械的、固定不变的，在新知识与原数学认知结构的继续相互作用下保存下来，更加趋于稳定，更有条理性。

掌握了一定的数学思想方法，学生在数学学习的过程中，能将各类知识及时整理，使其组织化、结构化、逻辑化、形成一个系统，不仅减轻记忆量，而且容易长久记忆。

由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的．无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，睢有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生．”

１．４．３掌握数学结构，缩小各级知识之间的距离

掌握结构和原理，“能够缩挟高级’知识和‘初级’知识之间的间隙．”一般地讲，初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义．而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、对应等．这也正是当前数学素质培养中的一个重要问题。知识是学不完的，但只要掌握了一定的思想方法，形成一定的能力就能够应付当今快速发展的社会因此，教材中的数学思想方法是联结中学数学与高等数学的一条红线。６

第二章数学思想方法教学的理论研究

２．１高中数学中常见的数学思想方法

２．１．１数形结合思想

数学以现实世界的数学关系和空间形式作为其研究对象，而数和形是相互联系，并可以相互转化的。数形结合就是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，或把问题的数量关系转化为图形的性质来研究，或把图形的性质转化为数量关系来研究、从而寻找解决问题的方法。即数形结合是沟通数与形的内在联系，或是有数构形、以形促数；或是由形思数，以数论形。著名的数学家华罗庚说得好“数”缺“形”，少直观，“形”离“数”难入微。

在中学数学中，数形结合的思想从渗透到形成和运用，经历了三个主要阶段：ｌ－数一一形对应：它是数形结合的基础。主要通过初中、高一、高二的新授课阶段的学习逐步领悟和掌握的；２．数——形转化：它体现了数与形的关系在解决问题的过程中，如何作为一种方法而得到运用的。在新授课时这类例子已相当普遍（例如解析法、复数法、三角法、图解法等）；３．数——形分工：这里指的是把应用数形结合思想作为解决问题过程中的一种策略，是数学规律性与灵活性的融合。

从内容上看，数形结合的渠道主要有：ｌ平面几何中的一些算法（主要是与解三角形有关的计算）；２解析几何中点与坐标、曲线与方程、区域（区间）与不等式的对应；在中学数学中，数形结合的具体方法有：解析法、复数法、三角法、图解法等；３函数与它的图象以及有关的几何变换：４三角函数的概念；复数的几何意义。

２．１．２分类讨论思想

数学学科的特征之一，就是尽可能用统一的形式和理论去解释规律，给出方法。当研究的对象不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就需要进行分类讨论。分类思想是依据数学对象本质属性的相同点和不同点，将数学对象划分为不同种类分别进行研究或求解的一种数学思想。

在此就要先解决“为什么要分类”、“怎么进行分类”、“合理分类的标准和方法是什么”，以及中学阶段最常见的分类有哪些等问题。

４七市高中选修教材编写委员会．中学数学思想方法．生活、读书、新知［Ｍ］，三联书店７，。

１为什么有必要进行分类

总的来说分类讨论出于两个目的：一是被动地分类，即我们研究的对象（概念、性质和法则、问题的条件）本身就是分类的，也就是说问题的提出已包含了分类的原因；二是主动地分类，即问题本身并不包含必须分类的因素，只是我们为了解决问题的需要，将面对的情况划分成几类，以适合不同的原理或法则的条件，分门别类地采用不同方式解决问题。前者例如“直线在平面外”常要分为线面平行，线面相交讨论；矿的极限需要按ｑ所取值的范围讨论；三角函数的正负要按角所在象限讨论等等。后者则如解不等式ｆ（Ｘ）＞ｇ（Ｘ）（ｆ（Ｘ）、ｇ（Ｘ）是有理函数），同解变形为两个不等式组，就是按ｇ（ｘ）≥Ｏ和ｇ（ｘ）＜０两种情况，根据不同的性质列出的。主动分类讨论的结果通常需要合并起来作为原有问题的答案。’

２怎么进行分类

分类是一种逻辑划分，它要求将全体对象划分成若干“类”之后，应满足不重不漏。即它是一种“化零为整，各个击破”的策略思想，它能帮助我们在解题、分析问题、解决问题时，做到思维缜密、严谨、不重复、不遗漏。使我们在遇到对事物整体研究有困难时，可转化成研究事物的各个局部。用集合语言描述，就是将全集划分成若干个集合，其中任何两个集合的交集为空集（不重），所有集合的并集为全集（不漏）。

３合理分类的标准和方法

每进行一次分类，就需要有一个分类标准。可以按菜个条件成立与否划分为两类，也可以按某条件的几种不同情况并列分类。当分类的原因不止～个时，～般还需要多级（或称为“多层”）分类，即在每个类中，还可以继续划分更小的类，直到每一类中都能使问题得到解决为止。

４中学阶段最常见的分类，

（１）实数取值区间的分类；

（２）整数的同余类划分：

（３）复数的实、虚数分类；

（４）函数性质的分类（如单调性、奇偶性等）；

（５）方程、不等式的不同类型及相应的解法；

（６）排列、组合应用题；

（７）角的分类；

（８）几何图形性质的分类；

（９）几何图形之间的位置关系。

２．１．３等价转化思想

前苏联数学家雅诺夫斯长姬睨：“解题——就是把所要解决的问题转化为已经解决的问题。”对问题通过转化而求得解决，是数学上最普遍的做法。从思维结构上看，是首先对一些基本原理、基本法则和典型问题的解法及结论形成深刻认识，当我们遇到８

生疏的或繁难的问题，通过这些问题与基本问题的关系，“化生为熟、化繁为简”解决问题。转化的方式，有时是等价的，即转化前后的命题保真（二者的成立与否互为充要条件）；有时则是不等价的℃如消元法、换元法引起的某一字母范围的变化，又如方程、不等式变形引起的未知数解的变化等），此时必须追加其他步骤。２．１．１中曾提到“数形转化”，就是最重要的转化之一。运用等价转化思想解题，大体上有三种途径和目的：ｌ对问题的局部进行转化。对问题的某个条件或结论作出转化；如式的恒等变形、三角函数值与角终边满足的条件的转化等等。这种转化主要是为了能直接运用一般规律和结论；２对命题进行转化，例如根据原命题和逆否命题的等价性进行转化等。这种“不同说法”之间的转化常常可以使那些“理不清”或“说不清的问题变得容易判断、理解：３对问题整体的转化，可以是代数、三角、几何领域之间的转化，也可以是某个领域内的转化，例如将复杂变量问题转变为二实变量问题；将较复杂的不等式的求解同解变形为不等式组的求解等。

２．１．４数学建模思想

数学建模的基本理论：

数学模型：简单地说，数学模型就是用数学语言来模拟空间形式和数量关系的模型。具体地说，数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。更确切地说，数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。一切数学概念、公式、理论体系、算法系统、表格、图示等都可称为数学模型。

数学建模：把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。数学建模是一种数学的思想方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并”解决”实际问题的一种强有力的数学手段。建立数学模型的方法和步骤：模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义、建模目的，搜集掌握对象的各种信息。弄清对象的特征，用数学语言来描述问题。模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。模型建立：在假设的基础上，利用对象的内在规律和适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）。模型求解：利用获取的数据资料，采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术，对模型的所有参数做出计算（估计）。模型分析：对模型解答所得结果进行数学上的误差分析，数据稳定性等分析。模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。９

２．２数学思想方法教学的特点

从备课入手，从数学思想方法的高度深入钻研教材，通过对概念、公式、定理等的研究与探讨，挖掘有关数学思想方法，将数学思想方法的教学要求与有关知识、技能的教学要求同时明确地提出来。在教学过程中，要重视数学思想方法的训练。在教学小结时，要注意数学思想方法的归纳。使学生通过训练总结，从数学思想方法的高度把握知识的本质。总之，要把数学思想方法的渗透，贯穿于整个教学过程。２．２．１数学思想方法教学的层次性

数学方法固然具有普遍适用性，但数学知识则是逐步深化的，这就导致了在知识发展的各个阶段所反映出的数学方法的不同的层次性，对同一数学方法，就该注意其在不同知识阶段的再现，以加强学生对数学方法的认识。一般地，低年级或知识新授阶段介绍较低层次的方法，高年级或知识深化阶段介绍较高层次的方法，反复再观，逐步渗透，如换元法、配方法都曾在不同的问题的研究中和不同阶段的数学中屡次出现，但每次都有不同的应用形式，也有层次上的深浅，平时我们注意技巧方法的教学，到了一定阶段，应上升为较高层次的数学思想，再用较高观点去概括知识的逻辑结构，提示知识的内在联系，会使所掌握的知识层次更具有深度和广度，也使思维更加深刻，比如，在中学学习的多种类型方程的求解方法，是随着各阶段的知识内容进行的，最后我们可将其归结为：化超越方程为代数方程，化高次方程为低次方程，化无理方程为有理方程，化分式方程为整式方程等解方程的思路，即化陌生为熟悉，化复杂为简单，使学生更强化了这种解决问题的基本思想方法。

初中阶段对掌握数学思想方法要求低，高中阶段相应地提高了要求的层次，如对分类讨论的思想、等价转化的思想、数形结合的思想、函数方程的思想等，不但要求理解，还要求在理解的基础上掌握及运用或灵活运用。任意提高或降低其要求层次，都会影响教学效果。

２．２．２学生掌握数学思想方法的阶段性

．最新实验研究表明，学生学习数学思想方法具有阶段性的特点，一般须经多次渗透强化、初步形成意识和应用发展三个阶段。其中，最关键的是初步形成阶段。衡量初步形成阶段的条件是：

（１）理解该思想方法的含义：

（２＞初步掌握该方法的操作步骤并会运用于比较简单的情况；

（３）了解该思想方法适应的范围和局限性。１０

２．２．３数学思想方法教学的渗透性５

之所以采用渗透的方法，是由数学思想方法本身的特点决定的。

首先，因为数学思想方法与表层的数学知识是有机整体，它们相互联系，相互依存，协调发展。那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透思想方法的教学是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高：另外，由于思想方法总是以表层知识教学为载体，若单纯强调数学思想方法，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到思想方法的真谛。

其次，由于数学思想方法是表层知识本质和内在联系的反映，它具有更大的抽象性和概括性。它隐含在知识里，体现在知识的应用过程中，它不象知识那样可以具体编排在某一章、某一节，靠教师专门讲解就可以理解的。数学思想方法是渗透在全部数学教学内容之中的它不是一朝一夕、一招一式可以完成的，而是要日积月累，长期渗透，才能水到渠成。

再次，数学思想方法的渗透主要是在具体的表层知识教学过程中实现的。因此，要不断的优化教学过程。

完成那样，而要经历一个过程，简单表述为“了解”——“理解”——“掌握”最后，从学生的认识规律来看，数学思想方法的掌握不象知识的理解可以短期内一一“会用”——“综合运用”的过程。从学生的个别差异来看，也存在着认识不同步的现象，因此数学思想方法的教学以采用渗透为合适。

２．３数学思想方法教学的原则６

数学思想方法的教学必须遵循的原则是由数学思想方法教学的特点决定的。

２．３．１渗透性原则

数学思想方法是融合在数学知识、方法之中的，所以采用渗透方式要不失时机地抓住机会，密切结合教材，不断地、一点一滴地再现有关数学思想方法，逐步地加深学生对数学思想方法的认识。

２．３．２渐进性原则

数学思想方法的渗透必须结合两个实际，即教材实际和学生实际，不同的教材内５］邓升华等．在数学教学中加强数学思想方法的渗透［Ｊ］．福州师专学报，１９９９年第３期

６黄育粤．课堂教学中渗透数学思想方法心遵循的原则［Ｊ］．教学研究ＩＩ

容有不同的要求，不同的学生也有不同的要求，要讲究层次，不能超越，要反复多次，小步地渐进。不能超越学生的认知水平与能力，要不断地借助数学知识这一载体从不同层面向学生渗透，使学生有感知到理解，会用。

２．３．３发展性原则

用渗透方式进行数学思想方法教学，开始时起点要低，逐渐的给学生以感官的认识，感觉的体验，但“低”是为了“高”。通过一个阶段的学习，应该在原有的基础土有所提高，让学生清清楚各种数学思想方法的内涵，使用的原则与标准，及哪些题型适用等等，经过不断的训练，使学生由“学会”并“会学”，过渡到“会用”，能主动借住数学思想方法分析问题、解决问题，在思维素质方面有所发展。

２．３．４学生参与性原则

苏霍姆林斯基指出：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是个发现者、研究者和探索者”。因此，在数学教学中，应当大胆地让学生参与迸来，充当教学活动的主角。数学教学中学生的参与核心是思维的参与，学生通过思考来理解掌握知识的精髓，有所发现，有所创新。一些有思考价值的问题，决不是一问一答～练即会的，教师应让学生真正地去看、去想、去说、去做，去探索数学思想方法的真谛。没有学生积极主动地参与，教师的教学就失去方向，没有接收对象投入的活动，一切都将失去意义，因此教师必须极大的调动学生的参与热情。那么在教学中师生讨论，生生讨论的过程是学生之间、师生之间的多边交流的过程。也是相互激励，相互合作的过程，更是主动意识的培养过程，也是学生思维参与性的最好展现。