第15讲 │ 定积分与微积分基本定理

第15讲 定积分与微积分基本定理

第15讲 │ 知识梳理 知识梳理1.定积分的概念 一般地，给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x),其图像如图15-1所示. 将[a,b]区间分成n份，分点为： a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b. 第i个小区间为[xi-1,xi],设其长度为Δxi,在这个小区间上取一点ξi,使 f(ξi)在区间[xi-1,xi]上的值最大，设S=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δ2+…+f(ξi)Δxi+… +f(ξn)Δxn. 在这个小区间上取一点ζi,使f(ζi)在区间[xi-1,xi]上的值最小， 设s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)Δxn.

图15-1

第15讲 │ 知识梳理如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0,S与s的差也趋于0,此时S与s

常数A ,容易验证，在每个小区间[xi-1,xi]上任取 同时趋于某一个固定的________一点δi,S′=f(δ1)Δx1+f(δ2)Δx2+…+f(δi)Δxi+…+f(δn)Δxn的值也趋于该

常数A ________,我们A 是函数y=f(x)在区间[a,b]上的________ 称______ 定积分 ，记作f(x)dx,即 f(x)dx=A __________ .a b

下限与积分的______ 上限，函数f(x) 其中，∫叫作积分号，a与b分别叫作积分的______ 被积函数 叫作__________ .

第15讲 │ 知识梳理2.定积分的几何意义与物理背景 y=f(x) 与x (1)几何意义：当f(x)≥0时， b f(x)dx表示的是________ ________________ =a,x=b和x轴 所围曲边梯形 a

的面积. (2)物理背景：当f(x)表示速度关于时间x的函数时， b f(x)dx表示的是运动物体从x=a到x a

=b时所走过的路程. 3.定积分的性质 b-a ; (1) b1dx=________ ab b

a (2) kf(x)dx=__________ ;f(x)dx± g(x)dx a a (3) [f(x)± g(x)]dx=__________________ ; a

k bf(x)dx

a

b

b

(4) c f(x)dx+ bf(x)dx= bf(x)dx. a c a

4.微积分基本定理 F(b)-F(a) ,式 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)=F′(x),则有 b f(x)dx=________(*) a

子*叫作牛顿莱布尼茨公式，通常称F(x)是f(x)的一个原函数. 5.利用定积分求面积、体积 (1) 由三条直线x=a,x=b(a<b), x轴及一条曲线y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积S b f(x)dx =__________. a (2)设曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体 π b[f(x)]2dx(a<b) 积为V,则V=________. a

第15讲 │ 要点探究 要点探究 探究点1例1

利用微积分基本定理及定积分的性质求定积分

(1)计算下列定积分： 1 2 2 2x - ① dx=________; x π ②∫ 0(sinx-sin2x)dx=________; 3 π π 2 2 ③ |3 - 2x| d x = ________ ;④∫ - cos xdx=________. 2 2 1 1

[思路]

利用微积分基本定理求定积分，就是求出

被积函数的一个

原函数，然后再计算在相应区间上的函数值的差即可.[答案] 14 ① -ln2 3 1 ②- 4 1 ③ 2 π ④ 2

第15讲 │ 要点探究[解答] 1 ①因为函数y=2x2- 的一个原函数是 x 2 y= x3-ln x, 3 2 3 2 1 2 2 x - ln x 2 x - 所以 d x = 1 x 3 1 16 2 14 = -ln 2- = -ln 2. 3 3 3 1 π cos2x,所以∫ 0(sinx- 2 3 π 1 1 1 1 1 - cos x + cos2 x - - - 1 + sin2x)dx= = - =- . 3 0 2 4 2 2 4 3 3 3 3 2 2 2 ③ |3 - 2 x |d x =∫ |3 - 2 x |d x + |3 - 2 x |d x =∫ (3 - 2 x )d x + 1 1 2 2(2x-3)dx= 2 2 ②函数y=sinx-sin2x的一个原函数是y=-cosx+ 3 (3x-x2)| 1+(x2-3x)|错误！=错误！. 2 π π π π1+cos2x ④∫ - cos2xdx=∫ - dx= 2 2 2 2 2 x 1 π π π + sin2 x 2 4 | 2 - 2 =2 . 1

第15讲 │ 要点探究

(2)不等式0(2x-8)dx≤0的解集为 [答案] {a|0<a≤8}

2 a 2 [解析]由 a 0(2x-8)dx=(x -8x)| 0 =a -8a≤0,显

然a≠0,故解集为{a|0<a≤8}

第15讲 │ 要点探究1 (3)设函数f(x)=ax2+1,若 f(x)dx=2,则a=________.

0

[答案]

3

[解析] f(x)dx= (ax 0 0

1

1

2

+1)dx=

ax3 1 a +x 0= +1=2,解得a=3. 3 3

第15讲 │ 要点探究

[点评] 利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函 数的一个原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互

为逆运算，因此要注意掌握一些常见函数的导数，在求稍微复杂的定积分时要注意被积函数的变形转化.把定积分融入方程 或不等式已成为近几年考试的热点.

第15讲 │ 要点探究 探究点2 利用定积分的几何意义求定积分2 1 例2 求定积分 ( 1 - x - 1 -x)dx的值

0

[思路]

画出被积函数的图像，求出对应图形的面积，由定积分的几

何意义便可求出积分值.[解答] 1 ( 0

1- x-1 2 -x)dx表示圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与 1 0

直线y=x所围成的弓形(如图所示)的面积，因此 π×12 1 π 1 x)dx= - ×1×1= - . 4 2 4 2

(

1- x-1 2 -

第15讲 │ 要点探究

[点评 ] 本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻2 2 2 1 烦， 由 ( 1 - x - 1 - x )d x 联想到圆 ( x - 1) + y =1(y≥0)的一部分

0

与直线 y=x,再联想到定积分的几何意义，用曲边梯形面积的代数 和的方法求定积分，从而简化了运算，也体现了数形结合思想的重 要作用.运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察 能

力、分析能力和逻辑推理能力.

第15讲 │ 要点探究 探究点3 定积分在求图形面积和旋转体体积方面的应用

例3 (1)求抛物线y2=2x与直线y=x-4围成的平面图形的面积 [思路] 先画出已知函数的图像，求出抛物线与直线的交点，再利用积分求解.[解答] 画出函数图像，如图所示：

解法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积应是 2 y =2x, 两部分之和，解方程组 得A(2,-2),B(8,4),则 y = x - 4 , 0≤x≤8,因此S= 2 0

2

2x dx+

8 2

2x-x+4 dx=

4 2 3 x | 3 2

2 0

+

2 2 3 x2 8 4x+ 3 x2- 2 |2=18.

解法二：选取纵坐标y为积分变量，则-2≤y≤4,图中的阴影部 y 2 y2 y 3 4 4-2 y+4- dy= 4y+ - |-2=18. 分面积S= 2 2 6

第15讲 │ 要点探究(2)求由曲线y=sinx在[0,π]段与x轴所围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积V. [思路] 直接用旋转体的体积公式计算

[解答] (2)旋转体示意图如图， 那么， 根据相应公式可 得

π π 2 π V=π ( sin x) d x = (1-cos2x)dx 2 0 0 2 1 π π π | x - sin 2x = = . 0 2 2 2

第15讲 │ 要点探究

[点评] (1)从上述两种解法中可以看出，对y积分比x积分计算简捷，但同

时也要注意对y积分时，积分函数应为x=m(y),然后再根据定积分求解，因此对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大概图形，然后根据 图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间.(2)利用积分

研究旋转体的体积时，要注意旋转体相应的旋转曲线，旋转方向与旋转轴.

第15讲 │ 要点探究 探究点4 定积分在物理方面的应用

例4 [2010· 福州模拟] 一辆汽车的速度——时间曲线如图15-2所示，求 该汽车在这一分钟内行驶的路程.

[思路] 本题考查定积分在物理中的应用，可

以先根据图像求出速度关于时间的函数解析式，再利用定积分求出路程 图15-2

第15讲 │ 要点探究

[解答] 从该汽车的速度——时间曲线可以看出，该汽车作变速 运动，其速度——时间的函数关系如下：

3t, 0≤t<20 , 2 v= v(t) = 50-t, 20≤t<40 , 10, 40≤t≤60 ,行驶的路程为： s = ∫ 60 0 v(t)dt20 3 =∫0 td t 40 20

所以该汽车在这一分钟内所

2

+ 50-t dt + 10dt = 40

60

3 2 20 t 0 4 +

1 2 40 50t- t 20 + 10t 2

60 40

= 900(米).