2 0 1 4年第 6期

中学数学研究

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解法 5:引入大于零的常值待定参数 A .+ y 2+ 3 A: 2+ y 2+A ( + ):( + )

由这遭最小 J叫题我们。可得如 l、刁、等式：

命题若， ),∈

且+ Y=3,则 2+

+ ( + )= ( 2+龛+龛 )+ ( y 2+争+争 )≥3

≥

豫

+ 3碍

= 3+ 3,所以 2+y 2的最小值为 X 2)::

对这个不等式的项数、系数和指数进行推广可得如下优美的不等式： 推广 1 若口 , >0 ( i=1, 2,…,凡 )且满足X1

当且仅当X 2: ①, ),:: ②, + :3③三式同时成立时不等式取等号.由①②得 Y= 代入③解得：L+,

+…+一

n

:口 1+…+‘一

”

则 2 1+…+ 2 ≥‘ ”

( 3/口 2+…】

) (口 1+…+口 ) 。

+√ 3

2 0】

:: ( 1+ ) :: ( 1+ ).(

推广 2 若口 , >0 ( i=1, 2,…,, 1 )且满足l

—

( 1+ )一

+…+ n:。+…+ ‘

则‘+…+ ≥

赏析本解法技巧性强别具一格.通过引入大于零的常值待定参数 A,然后运用均值不等式并根据等号成立的条件解方程组继而求出最小值.该解法引入参数有两个作用：其一是给运用均值不等式打下了基础；其二是对所得到的两个不等式等号都成立时，,能取到相同的值起到了沟通与平衡的作用.

,

其中m∈

显然，推广 1是推广 2在 m=2时的特殊情形， 下面我们仍用权方和不等式来证明推广 2 .

证明：设÷= b i ( i=1, 2,…, n ),因为> o ( i:1, 2,…, ),所以6>o ( i: 1, 2,…, n ) .由兰+

解法 6:设口=一 1, b=三，由， Y∈R知口， b∈ R ,由 +三=3,得 8+2 b=3,由权方和不等式孙 2 1+ 1= 1 3+

…+

=口+…+口 得， n 6。+…+n 6=口+

…+口 .由权方和不等式得， +…+ = +…

衄 ( 2 b

) 2≥

等=

b +■+— 6—: :● ( n— ——一+…+— a二 .— b— ≥ m ( ) m 。)

:

,

所以 2+ 的最小值为

赏析该解法通过换元后用权方和不等式求

二 . (!故+…+:≥ 8 1 6 1+…+a . b ) 。 ~,m .

最小值，因为解法是“站在巨人的肩膀上”,所以过程显得异常简洁.2 变式与推广

( n F+…+口 )

_丽

‘

一

道猜想不等式的纠正江苏扬州职业大学师范学院，( 2 2 5 0 0 0 ) 赵元翔

文[ 1]中提出了一个优美的猜想：设实数 A,, y, z满足：一1< A< l, A , A y, A

都不等于一1,且

=1,则