——教学资料参考参考范本——【高中教育】高考数学一轮复习课时分层训练38空间图形的

基本关系与公理文北师大版

______年______月______日

____________________部门

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A组基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是( )

A．①B．①④

C．②③D．③④

A [显然命题①正确．

由三棱柱的三条平行棱不共面知，②错．

命题③中，两个平面重合或相交，③错．

三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④不正确．] 2．(20xx·秦皇岛模拟)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若mα，α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是

( )

A．垂直B．相交

C．异面D．平行

D [∵mα，α，且A∈m，A∈α，

∴n在平面α内，m与平面α相交于点A，

∴m和n异面或相交，一定不平行．]

3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )

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A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行

D．l1与l4的位置关系不确定

D [如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，记l1＝

DD1，l2＝DC，l3＝DA．若l4＝AA1，满足

l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C．

若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；

取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直．

因此l1与l4的位置关系不能确定．]

4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为( ) 【导学号：

00090243】

A．B．3

5

C．D．5

7

B [连接DF，则AE∥DF，

∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角．

设正方体棱长为a，

则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，

∴cos∠D1FD＝＝.]

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5．(20xx·泰安模拟)如图7­3­9，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是

( )

图7­3­9

A．C1，M，O三点共线

B．C1，M，O，C四点共面

C．C1，O，A1，M四点共面

D．D1，D，O，M四点共面

D [连结A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M，

∴三点C1、M、O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，

∴C1，M，O三点共线，

∴选项A、B、C均正确，选项D错误．]

二、填空题

6. 如图7­3­10所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，

C1C的中点，有以下四个结论：

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图7­3­10

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线MN与AC所成的角为60°.

其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填

上)

【导学号：00090244】

③④[由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，

BN与MB1为异面直线．

因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.]

7. (20xx·佛山模拟)如图7­3­11所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，

D是AC的中

点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．

图7­3­11

60°[取A1C1 的中点E，连接B1E，ED，AE，

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在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，

设AB＝1，则A1A＝，AB1＝，B1E＝，AE＝，故∠AB1E＝60°.] 8．(20xx·邵阳模拟)如图7­3­12是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，

图7­3­12

①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；

④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

②③④[如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异

面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN垂直，故②③④正确．]

三、解答题

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9. 如图7­3­13所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，

B1C1的中

点．问：

图7­3­13

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；

(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由. 【导学号：00090245】

[解] (1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC．

因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.2分

又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形，

所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，

所以A，M，N，C在同一平面内，

故AM和CN不是异面直线. 5分

(2)直线D1B和CC1是异面直线. 6

分

理由：因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共

面．假设D1B与CC1不是异面直线，

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则存在平面α，使平面α，平面α，

所以D1，B，C，C1∈α，10分这与B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假设不成立，

即D1B和CC1是异面直线. 12分10．如图7­3­14所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：

图7­3­14

(1)三棱锥P­ABC的体积；

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．

[解] (1)S△ABC＝×2×2＝2，

三棱锥P­ABC的体积为

V＝S△ABC·PA＝×2×2＝. 5分

(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是

异面直线BC与AD所成的角(或其补角). 8分

在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.

故异面直线BC与AD所成角的余弦值为. 12分

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B组能力提升

(建议用时：15分钟)

1．下图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( ) 【导学号：00090246】

D [在A图中分别连接PS，QR，

易证PS∥QR，所以P，Q，R，S共面；

在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；

在C图中分别连接PQ，RS，

易证PQ∥RS，所以P，Q，R，S共面；

D图中PS与QR为异面直线，

所以P，Q，R，S四点不共面．]

2. 如图7­3­15，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相

垂直，且

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AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD 与GF所成的角的余弦值为________．

图7­3­15

3

[取DE的中点H，连接HF，GH.

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由题设，HF綊AD，

∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．在△GHF中，可求HF＝，

GF＝GH＝，

∴cos∠GFH＝＝.]

3．已知三棱锥A­BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．

[解] 如图，取AC的中点P.连接PM，PN，又点M，N分别是BC，AD的中点，

则PM∥AB，且PM＝AB，

PN∥CD，且PN＝CD，

所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角)．

则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，

①若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角

(或其补角)．

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又因为AB＝CD，所以PM＝PN，

则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，

即AB和MN所成的角为60°.

②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN＝30°，即AB和MN所成的角为30°.综上，直线AB和MN所成的角为60°或30°.

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