拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表

拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表

20140107

2. 数学模型与传递函数拉普拉斯变换系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关 系。经典控制理论的系统分析方法：时域法、频域法。时域分析法

求解数学模型微分方程，获得系统 输出随时间变化的规律。借助于系统频率特性分析系统的性 能，拉普拉斯变换是其数学基础。

频域分析法

频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方 法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。

2.2 拉普拉斯变换复数和复变函数 复数的概念复数 s= +j

j 1 称为虚数单位

(有一个实部 和一个虚部 , 和 均为实数)两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。

一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。

2.2.1 复数和复变函数 复数的表示法对于复数 s= +j 复平面：以 为横坐标(实轴)、 为纵坐标(虚轴)所构成 的平面称为复平面或[s]平面。复数 s= +j 可在复平面[s]中用 点( , )表示：一个复数对应于复平面上的一个点。 j 复平面[s] 1 s1= 1+j 1

2o

s2= 2+j 2

1

2

2.2.1 复数和复变函数① 复数的向量表示法 复数 s= +j 可以用从原点指向点( , )的向量表示。

向量的长度称为复数的模：

s r 2 2向量与 轴的夹角 称 为复数s的复角：

j

s1 s2

arctan( / )o

1

2

2.2.1 复数和复变函数② 复数的三角函数表示法与指数表示法 根据复平面的图示可得： = r cos , = r sin

复数的三角函数表示法：s = r (cos + j sin ) 欧拉公式： j

e cos j sin 复数的指数表示法：

j

s1 s2

s re j o

1

2

2.2.1 复数和复变函数③ 复变函数、极点与零点的概念 以复数s= +j 为自变量构成的函数G(s)称为复变函数：

G(s) = u + jv式中：u、v 分别为复变函数的实部和虚部。 通常，在线性控制系统中，复变函数 G(s) 是复数 s 的单值

函数。即：对应于 s 的一个给定值， G(s) 就有一个唯一确定的值与之相对应。 当复变函数表示成

k ( s zi ) G( s) (s p j )

(a) 当s=-zi时，G(s)=0,则si=-zi称为G(s)的 零点 ；

分子为零

(b) 当s=-pj时，G(s)→∞,则sj=-pj称为G(s)的 极点 。

分母为零

2.2.1 复数和复变函数

例：当s= +j 时，求复变函数G(s) =s2+1的实部u和虚部v。

解：

G(s)=s2+1=( +j )2 + 1 = 2 + j(2 ) - 2 + 1 =( 2 - 2 + 1) + j(2 )u 2 2 1v 2

复变函数的实部 复变函数的虚部

2.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换的定义拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法

,其优点是能 将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量 s的乘积，将时 间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。设有时间函数 f(t),当 t < 0 时，f(t)=0;在 t≥0时定义函 数 f(t) 的拉普拉斯变换为：

F (s) L f (t ) f (t )e st dt 0

象函数

拉氏变换符号

原函数

复变量

拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t) 变 换到复数域内与之等价的复变函数 F(t) 。

2.2.2 拉普拉斯变换的定义拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变 换存在的条件： ① 当t≥0时，f(t) 分段连续，只有有限个间断点； ② 当t →∞时，f(t) 的增长速度不超过某一指数函数，即

f (t ) Meat式中：M、a为实常数。

在复平面上，对于Res >a的所有复数s (Res表示s的实部)都 使积分式绝对收敛，故Res >a是拉普拉斯变换的定义域， a称 为收敛坐标。

2.2 拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换 (1) 单位阶跃函数单位阶跃函数定义：

其拉普拉斯变换为：

0, t 0 1(t ) 1, t 0 st st

1 st L 1(t ) 1(t )e dt e dt e 0 0 s 1 st 1 0 1 lim e e t s s s

0

2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换(2) 单位脉冲函数单位脉冲函数定义：

, t 0 (t ) 0, t 0

且：

(t )dt 1 (t ) f (t )dt f (0)

其拉普拉斯变换为：

L (t ) (t )e st dt e st0

t 0

1

2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换(3) 单位速度函数(单位斜坡函数)单位速度函数定义：

0 t 0 f (t ) t , t 0其拉普拉斯变换为：

1 st L t te dt tde 0 s 0 1 st 1 st 1 st te e dt 2 e 0 s s 0 s st

0

1 2 s

2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换(4) 指数函数指数函数表达式：

f (t ) e at式中：a是常数。 其拉普拉斯变换为：

Le

at

0

e e dt e at st 0

( s a ) t

1 dt s a

2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换(5) 正弦信号函数正弦信号函数定义：

其拉普拉斯变换为：

1 j t -j t 由欧拉公式，正弦函数表达为：sin t e e 2j st

t 0 0 f (t ) sin t , t 0

两 式 相 减

e j t cos t j sin t e-j t

cos t jsin t

1 j t -j t st L sin t sin t e dt e e e dt 0 2j 0 1 - ( s-j ) t -( s j ) t 1 1 1 e e dt 2 2j 0 2 j s-j s j s 2

2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换(6) 余弦信号函数余弦信号函数定义：

t 0 0 f (t ) cos …… 此处隐藏：712字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……