二次函数解析式求法1

时间:2025-04-02

求二次函数解析式:综合题

例1 已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(1,0),并

经过M(0,1),求抛物线的解析式.

分析: 本题可以利用抛物线的一般式来求解,但因A(-1,0)、B(1,0)是抛物线与x轴的交点,因此有更简捷的解法.

如果抛物线y=ax+bx+c与x轴(即y=0)有交点(x1,0),(x2,0).那么显然有

22 ∴x1、x2是一元二次方程ax+bx+c=0的两个根.因此,

ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

∴抛物线的解析式为

y=a(x-x1)(x-x2) (*)

(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)

我们将(*)称为抛物线的两根式. 2

对于本例利用两根式来解则更为方便.

解: ∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(1,0) ∴设抛物线的解析式为

y=a(x+1)(x-1)

又∵抛物线过M(0,1),将x=0,y=1代入上式,解得a=-1

∴函数解析式为y=-x+1.

说明:一般地,对于求二次函数解析式的问题,可以小结如下:

①三项条件确定二次函数;

②求二次函数解析式的一般方法是待定系数法; ③二次函数的解析式有三种形式:

2

究竟选用哪种形式,要根据具体条件来决定. 例2 由右边图象写出二次函数的解析式.

分析:看图时要注意特殊点.例如顶点,图象与坐标轴的交点.

解:由图象知抛物线对称轴x=-1,顶点坐标(-1,2),过原点(0,0)或过点(-2,0).

设解析式为y=a(x+1)+2

∵过原点(0,0),∴a+2=0,a=-2.故解析式为y=-2(x+1)+2,即y=-2x-4x.

说明:已知顶点坐标可以设顶点式.

本题也可设成一般式y=ax+bx+c,∵过顶点(-1,2)和过原点(0,0),

2222

本题还可以用过点(0,0),(-2,0)而设解析式为y=a(x+2)²x再将顶点坐标(1,2)代入求出a.

例3 根据下列条件求二次函数解析式.(1)若函数有最小值-8,且a∶b∶c=1∶2∶(-3).(2)若函数有最大值2,且过点A(-1,0)、B(3,0).(3)若函数当x>-2时y随x增大而增大(x<-2时,y随x增大而减小),且图象过点(2,

4)在y轴上截距为-2.

分析: (1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3)可将三个待定系数转化为求一个k.即设a=k,b=2k,c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1,2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2 解:

(1)设y=ax+bx+c ∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)

∴设a=k,b=2k,c=-3k ∵有最小值-8 2

2 ∴解析式y=2x+4x-6

(2)∵图象过点A(-1,0)、B(3,0),A、B两点均在x轴上,由对称性得对称轴为x=1.又函数有最大值2,∴顶点坐标为(1,2),∴设解析式为y=a(x-1)+2.

2

(3)∵函数当x>-2时y随x增大而增大,当x<-2时y随x增大而减小

∴对称轴为x=-2设y=a(x+2)+n

∵过点(2,4)在y轴上截距为-2,即过点(0,-2) 2

2 说明:题(3)也可设成y=ax+bx+c,得:

题(2)充分利用对称性可简化计算.

例4 已知抛物线y=ax+bx+c与x轴相交于点A(-3,0),对称轴为x=-1,顶点M到x轴的距离为2,求此抛物线的解析式.

分析:此例题给出了三个条件,但实际上要看到此题还有隐含条件,如利用A点关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1,0),因此可以把问题的条件又充实了,又如已知顶点M到x轴的距离为2,对称轴为x=-1,因此又可以找顶点坐标为(-1,±2),故可利用顶点坐标式求出函数的解析式,此题的解法不唯一,下面分别介绍几种解法.

解法(一):

∵抛物线的对称轴是x=-1,顶点M到x轴距离为2, ∴顶点的坐标为M(-1,2)或M′(-1,-2). 故设二次函数式y=a(x+1)+2

或y=a(x+1)-2

又∵抛物线经过点A(-3,0)

∴0=a(-3+1)+2或0=a(-3+1)-2 22222

所求函数式是

解法(二):

根据题意:设函数解析式为y=ax+bx+c

∵点A(-3,0)在抛物线上

∴0=9a-3b+c ①

又∵对称轴是x=-1

∵顶点M到x轴的距离为2 2

解由①,②,③组成的方程组:

∴所求函数的解析式是:

解法(三):

∵抛物线的对称轴是x=-1

又∵图象经过点A(-3,0)

∴点A(-3,0)关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1,0)

∴设函数式为y=a(x+3)(x-1)

把抛物线的顶点M的坐标(-1,2)或(-1,-2)分别代入函数式,得

2=a(-1+3)(-1-1)或-2=a(-1+3)(-1-1)

解关于a的方程,得

∴所求函数式为:

说明:比较以上三种解法,可以看出解法(一)和解法(三)比解法(二)简便.

M点到x轴的距离为2,纵坐标可以是2,也可以是-2,不要漏掉一解.

例5 已知抛物线y=x-6x+m与x轴有两个不同的交点A和B,以AB为直径作⊙C,

(1)求圆心C的坐标.

(2)是否存在实数m,使抛物线的顶点在⊙C上,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 2

分析:(1)根据抛物线的对称性,由已知条件AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与x轴的交点.

(2)依据圆与抛物线的对称性知,抛物线的顶点是否在⊙C上,需要看顶点的纵坐标的绝对值是否等于⊙C的半径长,依据这个条件,列出关于m的方程,求出m值后再由已知条件做出判断.

解:(1)∵y=x-6x+m=(x-3)+m-9

∴抛物线的对称轴为直线x=3

∵抛物线与x轴交于A和B两点,且AB是⊙C的直径,由抛物线的对称性

∴圆心C的坐标为(3,0)

(2)∵抛物线与x轴有两个不同交点

∴△=(-b)-4m>0,∴m<9

设A(x1,0),B(x2, …… 此处隐藏:1648字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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