求二次函数解析式：综合题

例1 已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并

经过M(0，1)，求抛物线的解析式．

分析： 本题可以利用抛物线的一般式来求解，但因A(-1，0)、B(1，0)是抛物线与x轴的交点，因此有更简捷的解法．

如果抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴(即y=0)有交点(x1，0)，(x2，0)．那么显然有

22 ∴x1、x2是一元二次方程ax＋bx＋c=0的两个根．因此，

有

ax+bx＋c=a(x-x1)(x-x2)

∴抛物线的解析式为

y=a(x-x1)(x-x2) (*)

(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)

我们将(*)称为抛物线的两根式． 2

对于本例利用两根式来解则更为方便．

解： ∵抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0) ∴设抛物线的解析式为

y＝a(x＋1)(x-1)

又∵抛物线过M(0，1)，将x=0，y=1代入上式，解得a=-1

∴函数解析式为y=-x＋1．

说明：一般地，对于求二次函数解析式的问题，可以小结如下：

①三项条件确定二次函数；

②求二次函数解析式的一般方法是待定系数法； ③二次函数的解析式有三种形式：

2

究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定． 例2 由右边图象写出二次函数的解析式．

分析：看图时要注意特殊点．例如顶点，图象与坐标轴的交点．

解：由图象知抛物线对称轴x=-1，顶点坐标(-1，2)，过原点(0，0)或过点(-2，0)．

设解析式为y=a(x＋1)+2

∵过原点(0，0)，∴a＋2=0，a=-2．故解析式为y=-2(x+1)+2，即y=-2x-4x．

说明：已知顶点坐标可以设顶点式．

本题也可设成一般式y=ax+bx＋c，∵过顶点(-1，2)和过原点(0，0)，

2222

本题还可以用过点(0，0)，(-2，0)而设解析式为y=a(x+2)²x再将顶点坐标(1，2)代入求出a．

例3 根据下列条件求二次函数解析式．(1)若函数有最小值-8，且a∶b∶c=1∶2∶(-3)．(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0)、B(3，0)．(3)若函数当x＞-2时y随x增大而增大(x＜-2时，y随x增大而减小)，且图象过点(2，

4)在y轴上截距为-2．

分析： (1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3)可将三个待定系数转化为求一个k．即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2 解：

(1)设y=ax＋bx+c ∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)

∴设a=k，b=2k，c=-3k ∵有最小值-8 2

2 ∴解析式y=2x+4x-6

(2)∵图象过点A(-1，0)、B(3，0)，A、B两点均在x轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为(1，2)，∴设解析式为y=a(x-1)＋2．

2

(3)∵函数当x＞-2时y随x增大而增大，当x＜-2时y随x增大而减小

∴对称轴为x=-2设y=a(x+2)+n

∵过点(2，4)在y轴上截距为-2，即过点(0，-2) 2

2 说明：题(3)也可设成y=ax＋bx＋c，得：

题(2)充分利用对称性可简化计算．

例4 已知抛物线y=ax＋bx＋c与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．

分析：此例题给出了三个条件，但实际上要看到此题还有隐含条件，如利用A点关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)，因此可以把问题的条件又充实了，又如已知顶点M到x轴的距离为2，对称轴为x=-1，因此又可以找顶点坐标为(-1，±2)，故可利用顶点坐标式求出函数的解析式，此题的解法不唯一，下面分别介绍几种解法．

解法(一)：

∵抛物线的对称轴是x=-1，顶点M到x轴距离为2， ∴顶点的坐标为M(-1，2)或M′(-1，-2)． 故设二次函数式y=a(x＋1)＋2

或y=a(x+1)-2

又∵抛物线经过点A(-3，0)

∴0=a(-3＋1)＋2或0=a(-3＋1)-2 22222

所求函数式是

解法(二)：

根据题意：设函数解析式为y=ax＋bx＋c

∵点A(-3，0)在抛物线上

∴0=9a-3b＋c ①

又∵对称轴是x=-1

∵顶点M到x轴的距离为2 2

解由①，②，③组成的方程组：

∴所求函数的解析式是：

解法(三)：

∵抛物线的对称轴是x=-1

又∵图象经过点A(-3，0)

∴点A(-3，0)关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)

∴设函数式为y=a(x+3)(x-1)

把抛物线的顶点M的坐标(-1，2)或(-1，-2)分别代入函数式，得

2=a(-1＋3)(-1-1)或-2=a(-1＋3)(-1-1)

解关于a的方程，得

∴所求函数式为：

说明：比较以上三种解法，可以看出解法(一)和解法(三)比解法(二)简便．

M点到x轴的距离为2，纵坐标可以是2，也可以是-2，不要漏掉一解．

例5 已知抛物线y=x-6x＋m与x轴有两个不同的交点A和B，以AB为直径作⊙C，

(1)求圆心C的坐标．

(2)是否存在实数m，使抛物线的顶点在⊙C上，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 2

分析：(1)根据抛物线的对称性，由已知条件AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与x轴的交点．

(2)依据圆与抛物线的对称性知，抛物线的顶点是否在⊙C上，需要看顶点的纵坐标的绝对值是否等于⊙C的半径长，依据这个条件，列出关于m的方程，求出m值后再由已知条件做出判断．

解：(1)∵y=x-6x＋m=(x-3)+m-9

∴抛物线的对称轴为直线x=3

∵抛物线与x轴交于A和B两点，且AB是⊙C的直径，由抛物线的对称性

∴圆心C的坐标为(3，0)

(2)∵抛物线与x轴有两个不同交点

∴△=(-b)-4m＞0，∴m＜9

设A(x1，0)，B(x2，0)

222

∵抛物线的顶点为P(3，m-9)

解得：m=8或m=9

∵m＜9，∴m=9舍去

∴m＝8

∴当m=8时，抛物线的顶点在⊙C上．

说明“存在性”问题是探索性问题的主要形式．解答这类问题的基本思路是：假设“存在”—→演绎推理—→得出结论(合理或矛盾)．

例6 已知抛物线y=ax＋bx＋c，其顶点在x轴的上方，它与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A及点B(6，0)．又知方程：ax＋bx＋c＝0(a≠0)两根平方和等于40．

(1)求抛物线的解析式；

(2)试问：在此抛物线上是否存在一点P，在x轴上方且使S△PAB=2S△CAB．如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．

分析：求解析式的三个条件中有一个是由方程的根来得到系数的关系式，通过解方程组求出系数也就得到解析22

式．第(2)问中问是否存在那么假设存在进行推理，从而判断存在或不存在．

解：(1)由题设条件得

∴抛物线顶点为(2，4)．

又A点坐标为(-2，0)，

而△ABC与△PAB同底，且当P点位于抛物线顶点时，△PAB面积最大．

显然，S△PAB=16＜2S△ABC=2³12=24．

故在x轴上方的抛物线上不存在点P使S△PAB=2S△CAB．

例7 在一块底边长为a，高为h的三角形的铁板ABC上，要截出一块矩形铁板EFGH，使它的一边FG在BC边上，矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大．

分析： 问题问“矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大”，所以题目的目标是矩形面积(S)而自变量就是EF的长(x)，因此问题的关键就是用EF(x)表示矩形面积S，这就要用EF表示出EH．

解： 设内接矩形EFGH中，AM⊥BC，

∵EH∥BC，设EF=x(0＜x＜h)

则AN=h-x

设矩形EFGH的面积为S

说明：解决联系实际的问题，又与几何图形有关就应综合应用几何、代数知识，利用相似成比例列出函数式再求最值．

例8 二次函数y=ax＋bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，

(1)求二次函数的解析式；

(2)求原点O到直线AB的距离．

分析：

为直线x=3，来求系数a，b．注意根与系数关系定理的充分应用． 2

为求原点O到直线AB的距离要充分利用三角形特征和勾股定理．

解： (1)如图，

由已知，有

2 ∴(x1+x2)-2x1x2=26，

∴a=-1．

∴解析式为y=-x＋6x-5=-(x-3)＋4．

(2)∵OB=5，OC=4，AC=3，

22

∴△AOB为等腰三角形，作OD⊥AB于D，

说明：有部分学生把二次函数的顶点坐标记错，也有的学生不会用“根与系数的关系”，得不出解析式．有不少学生没有发现△AOB是等腰三角形，若发现为等腰三角形，OD是底边AB的高，利用勾股定理就迎刃而解了．

发生错误的原因，没记熟抛物线的顶点坐标公式，有的学生记下来了，但与两个根如何综合使用发生了问题，有些学生求点O到直线AB的距离，没有分析出图形与数量关系，