浅谈构造法在微积分中的应用

广西民族学院学报（自然科学版）

第!卷第"期

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浅谈构造法在微积分中的应用

黄淑林

（广西民族学院数学与计算机科学系，广西南宁

$(###)）

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摘要：浅谈构造法在微分中值定理的论证、反例的构想、解题证题等方面的一些应用3

关键词：微积分；构造法；应用中图分类号：*%&"文献标识码：+

构造法是微积分中常用的解题方法,它是利用转换思维的方法，根据题设条件，构想、组合成一种新的函数，方程，不等式等具体关系，使问题在新的关系下实现转化从而得到解决,

事实上，若要*（#）%*（$），即（!#）+,#%（!$）+,$&（）（）

就可以了-$)#

（!$）（!#）

故构造函数*（"）%（（"）满"&显然*!"）)

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足罗尔定理的!"#-.在（#$）上至少有一点!，使*(（!）

（（）））（）（

即!(（（）%&.!(&这就%#，)!）!$)#$)#证明了拉格朗日定理-只须,%)

柯西定理

设（、（"）：［#，上连续；（#，!"）*$］!在"在

内可导且*(（"）（#，则在（#，内至少有一$）$），$）##"$

（（））（）-使点!，

$)*#%*(*!设想函数-（"）%（（"），令-（#）%-（$），即!"）+,*（））（

（（#）%（（$），得.%)!$）+,*!#）+,*-$)*#*

（/*(（"）（$）（#））##&.*#*

（"）%（故构造函数-!"）)

（）（）

（"） *

（）（#）*$)*

显然-（"）满足罗尔定理的!"#，（#，.在$）上至

%构造法在定理证明中的应用

根据定理的条件，先构造一个函数，使这个函数符合另一

已证明成立的定理，从而使所求证的定理得到解决，这种把未知问题化归为已知问题的方法，在微积分定理的证明中常有使用,例如罗尔定理，拉格朗日定理、柯西定理是三个重要的微分中值定理，一般在证明了罗尔定理的基础上，用构造函数的方法证明后两个定理,

罗尔定理

设函数（：［#，（#，!"）$］上连续；!在"在

内可导；（#，内至少有一点!（#’!$）!#）%（!$）&则在$）#（

使!(（’$）!）%#&

现在设想，若（满足!"，但不满足#，那么是否存在!"）（#’!’$），使!(（!!）%理提出的问题-（!#）!$）（

呢？这就是拉格朗日定

)为了研究这一问题，设想函数*（"）%（（!"）+,"）&,是待定系数），显然*（"）满足!"，若适当选取,的值，使*（"）也满足#，那么问题就化归为罗尔定理了-

少有一点!（#’!’$）使-(（（!）%#，即!(!）)

（（（）（））（））即（）#*(.$)*#!%$)*"%*(**!证得柯西定理&

"

收稿日期："##"0#(0%",

作者简介：黄淑林（%12"0），女，广西民族学院数学与计算机科学系副教授,

A@?万方数据

浅谈构造法在微积分中的应用

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!构造法在构造反例中的应用

数学的发展过程，是一个不断地提出问题和解决问题的

过程"而解决问题又是由给出证明或举出反例来完成，因而构造反例在数学理论中占着重要的地位!

例如在定积分的定义中，很强调两个“任意性”，即对区间［"，分法的任意性和在小区间［$%&#，#］$%］上选取!%的任意

’

（的极限不存在"这就要求在&（2’内""在2’处，)$，-）$）

)

又含有使函数值不相等的点"至"既有使相等的线性邻域，

%/

此，构造这个函数就轻而易举了"

（性，具体地说，就是要求积分和的极限$%&"（)!%）#$%"(%最

#’1-1$!（（如图!所大可取为射线上的距离’56（#(’时，#）任取）

示）"在此线性邻域3$31%内

"

如构造函数（)$，-）(

{

’

-’’或-($!

"!’

%(#

*"$｛#$%｝，#$%($%&$%&#）的存在既与［"#］的分法无关，又与!%在［$%&#，$%］

上的选取无关"对于后一个“任意性”是否必要？也就是能否构造一个函数（)$），当!%在［$%&#，$%］上取

’

不同的点时，积分和的极限$%&"（)!%）#$%也不同，

（即与"!’

%(#

!%的选取有关）"对此，举一个反例说明"事实上，狄里克雷函数就是一个最好的反例"+（$）(

{

#$为有理数"

’$为无理数"

$$

［"，#］"对于［"，#］的任一分法，

如果没有后一个任意性，若在’

’

$%&#，$%］中取!%有理数，则"+（!%）

#$%(#

%(#"# #$%

(%(#

’

’

&"；若取,%无理数，则"+（,%）#$%(

’#$%

(’!这样

%(#

"%(#

一来，积分和就有#&"和’两个不同的极限值，这种引起定义上的混乱当然是不允许的"因此，!%在

［$%&#，$%］上的选取必须是任意的，不能有所规定"

构造反例的过程就是一个研究命题的过程，是建立在对命题所涉及到的概念、理论有透彻的理解的基础上的"

例如函数（)$，-）在点（$’-’）处沿任意方向的方向导数都存在且相等，不一定有（)$，-）在点（$’-’）连续，可微，甚至连二重极限也不存在，如何构造这样一个函数呢？

我们知道，方向导数%

.只与函数（)$，-）在直线

$’

，-’

）

/$($’0$()*#

#

：{

-(-（&,1’0$+%*#$10,）上点2（’$’-’）的某线性邻域3$3(%有关（如图#

所示）

/

都存在且相等

万方数据

/(%$()*#0%

-+%*#(’但在2（’’，’）的任一邻域内，总含有使（)$-）(#的点，所以（)$-）在点2（’’’）的二重极限不存在，当然就不连续、不可微了"

/构造法在解题中的应用

根据题设条件，构想，组合成一种新的函数、方程、不等式

等具体关系，使问题在新的关系下实现转化从而得到解决，这种转换思维的方法在微积分解题过程中常有用到，例如在不等式的证明中，通常是根据要证的不等式，探索所需函数，先构造一个辅助函数，从而把不等式的证明转化为利用导数研究函数的性质"

例#

若〈’〈-$，74#"

求证：7-7&（#$&-）1$7&-717$7&（#

$&-）!

原式可化为：2-7&#

177$&-17$7&#

（

!-$&-4’）所以该不等式可用微分中值定理证明"

证：先构造函数，令（)8）(87!显然（)8）在［-，$］上满足拉格朗日定理条件，于是有

（)$）（)-）

$&-()9（!）!’1-1!1$!即

$7-7&(7!7&#-’1-1!1$!7&#4’!

.7-7&#17!7&#17$7&#!即7-7&#1777&#

$&-17$!故7-7&（#$&-）1$7&-717$7&（#

$&-）!例!设$4’，-4’，$)-!求证：$$*$0-$*-4（$0-）/’

!!此式可利用函数图形的凹凸性来证明!证：令（)8）(8$*8!84’!显然（)8）

当84’时是连续的!!"!

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浅谈构造法在微积分中的应用

广西民族学院学报（自然科学版）&##&年+月第0卷

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（#）$%&#’"(!!"

（#）$!)

*#(#

由定义%

（））（），!*（

&&

得(

..&

’’…’$#(&)&’"

&

证明：在（#，"）内至少有一点!使.#’."!’.&!’…’&.!$#(&

即要证在（#，内函数!’（+）$.#’."+’.&+&’…’"）

例+

设.#’

作函数.&+&至少有一个零点(为此，

."&.&).&&’"

在+’+’…’+(显然（!+）

&)&’"

［#，上连续，（#，在内可导，且（"］"）!#）$#(

（!+）$.#+’的图形是凹的$（!#）

当+*#，有,*#(+!,时，即

+’(+,’(,+,+,

%&(故+%&+’,%&,*（+’,）%&*

(-例)

设（在［.，上可导，（+）!+）/］!’!.）$#"0(（

/

"&

求证：（（/2.）!+）1+$0(

#

.

证：作函数3（+）$#

+

（!#）1#2

"（.

&0+2.）（&

.$+$/）则

3"（+）$（!+）20

（+2.）3)（+）$!"（+）20$#（!!"（+）$0）($3"（+）单调递减(又!3"（.）$（!.）24（.2.）$#($当+%.时

3"（+）$3"

（.）$#%$3（）单调递减，又.

+!3（.）$#

（.!#）1#2

"&

0（.2.）&

$#(

即#

/

$3（/）"3

（.）$#(（!#）&

0（.

2

/2.）&

$#(故

#

/

（.

!+）1+$"0（/2.）&

(

不等式的证明有时用到初等数学中先构造一个二次不等

式的方法(

例*

设函数（!+），（5+）在区间［.，/］

上均连续(证明：（#/

（&

/

/

.!#）（5+）1+）$

#

.

!（&+）1+ #

5（&

+）1+

.（柯西—施瓦茨不等式）

我们知道，在二次不等式6+&’7+’8%（#6*#）中，

有&$#(即7&

2*68$#(

证：对任意实数#(!（（!+）’# （5

+））&

%#($!（&+）’&# （!+）（5+）’#& 5（&

+）%#(

$构造不等式：#

/

!（&

+）1+’&#

/

#（.!+）（.

5+）1+’

#

#&

/

5（&#）1+.

%#(

/!#5（&#）

1+*#

$判别式.&"#%即

（#/*（.

!#）（5+）1+）&/

2#*&#/

1+ 5（&

+）1+.

!（#）

.

$#(故（#/

（!+）（5&

#/+）1+）$!（&

/#）1+ #5（&

+）1+(

.

.

.

利用构造函数法还可以证明某些等式(通常是根据要证明等式，先构造一个函数，后利用微分中值定理加以证明即

#"!万方数据

（!"）$.".&#’

.&’)’…’.&

&’"

$#即（!#）$（!"）(

由罗尔定理，在（#，"）内至少有一点!(使!"（!）$#，

即.#’.!’.&!

&"&!’…’.&$#(例,设（!+）在［#，"］上连续，在（#，"）内可导(且（!#）

$（

!"）$#(（!&

）$"(证明：在（#("）内至少有一点!，使(!"（!）$"(

要证!"（!）$"(即要证方程!"（+）2"$#在（#，"）内至少有一个根!(而!"（+）2"的原函数是（!+）2+(

证：作辅助函数3（+）$（!+）2+(显然3（+）在［#，"］上连续，在（#，"）

内可导，又3（"）$（!"）2"$#2"9#，3

（""&）$（!&）2"

&

$"2

&

*#(由介值定理知，在（

"

&

，"）内至少有一点，’使3（’）$#(又，!3（#）$（!#）2#$#($3（#）$3（’

）(则在［#，’］上应用罗尔定理得：在（#，’）内至少有一点!，使3"（!）$#(即!"（!）2"$#(

!（#，’）(（#，"）故在（#，"）内至少有一点!，使!"（!）$"(

在微积分的教学过程中，适当地运用构造法解题，对灵活地转换学生的思维方法，启发学生的创新能力是大有好处的%

［参考文献］

"］方初宝%数学分析选讲［-］.南宁：广西人民出版社，"/0,.&］罗爱宾等%最新高等数学复习指导［-］.北京：海洋出版社，&###.

［责任编辑

黄祖宾］

"0+页）

［［（下转第

浅谈构造法在微积分中的应用

"44"年第"期#梁丽杰T试论预科教学中数学思维的培养$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

于是（

#

因此，（!）可以证得和训练#

""

!

去分析、去解决问题，必然会激励学生学习数学的热情，提高学生学习数学的主动性和积极性，教学质量就会上新台阶#

经过这一探索、思考过程，学生的创造能力可以得到培养任何学习都离不开思维，数学学习更是这样，反过来，通过思维又促进数学的学习，在教学中教师要着力研究数学思维的教育问题，培养和发展学生的数学思维#如果我们能通过各种形式和办法启发学生去观察、去思考、去猜想、去发现、

［参考文献］

［!］马忠林#数学思维论［$］广西教学出版社%%南宁：

［"］蔡上鹤，郭思乐#论数学教学中的思维教育［&］%教材教学法，!’(’，（)）%

［责任编辑黄祖宾］

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（上接第!("页）

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浅谈构造法在微积分中的应用

浅谈构造法在微积分中的应用

作者：

作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

黄淑林

广西民族学院,数学与计算机科学系,广西,南宁,530006

广西民族学院学报(自然科学版)

JOURNAL OF GUANGXI UNIVERSITY FOR NATIONALITIES(NATURAL SCIENCE EDITION QUARTERLY)2002，9(2)6次

参考文献(2条)

1.方初宝 数学分析选讲 19862.罗爱宾 最新高等数学复习指导 2000

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5.学位论文 陈勇 孤立子理论中的若干问题的研究及机械化实现 2003

该文研究了孤立子理论、可积系统、分数微分形式中的若干问题: 第一章介绍了孤立子理论,数学机械化,Hamilton系统(反问题)以及分数微分形式研究的历史发展和现状.同时介绍了一些关于这些学科的国内外学者所取得的成果.第二章以AC=BD的理论模式为指导,考虑了非线性偏微分代数方程(组)的精确解的构造.给出了AC=BD理论的基本思想,C-D可积理论在微分方程求解中的应用;然后通过具体的变换给出了构造C-D对的算法,利用符号软件Maple,给出了利用AC=BD+R带余除法构造精确解的具体算法.最后讨论具有任意阶非线性项的非线性发展方程A的构造法.第三章基于将非线性发展方程求解,代数化,算法化,机械化的指导思想,运用吴方法和符号计算为工具,考虑了非线性发展方程精确解的构造.主要内容为:1)运用改进的extended-tanh函数方法求解了广义的耦合的Hirota-Satsuma KdV系统和耦合MKdV方程,求出了许多新的精确解;2)进一步改进了extended-tanh函数方法,并将其应用到带有任意阶非线性项的发展方程,同时求出了形式更为一般的精确解;3)提出了广义的extended-tanh函数方法,并将其应用到SLA方程的精确解构造;4)提出了Complex-tan函数方法,并将其应用于构造精确解;5)扩展了Jacobi椭圆函数法,并将其应用到求解(2+1)维色散长波方程;6)推广了射影Riccati方程方法,构造了Zakharov-Kuzentsov方程新的精确解;7)提出了广义Riccati方程展开法,求得了一类非线性发展方程的类孤立子解.第四章以符号计算软件Maple和Mathematica为工具,改进了用推广的齐次平衡法寻求非线性发展方程的Backlund变换的方法,分别研究了两类非线性发展方程的Backlund变换和精确解:1)具有任意阶非线性项的非线性发展方程的

Backlund变换;2)变系数非线性发展方程的Backlund变换.第五章基于吴微分消元理论,讨论了非线性偏微分代数方程的Painleve性质.首先给出了吴微分消元的基本理论与算法,然后介绍了Painleve奇性分析的一般原理,同时介绍了一个验证P-性质的新算法,在Maple上编程实现了在不求通项公式的情况下,求出共振点,并利用吴微分消元理论最终判定非线性偏微分代数方程是否具有Painleve性质.Ⅰ第六章研究了无穷维Hamilton系统的反问题,1)一些数学物理中的

Hamilton系统的正则表示;2)偏微分方程组的Hamilton正则系统的有序解析表示.3)Hamilton正则表示的一个机械化算法.第七章研究了分数微积分和分数微分形式,讨论了在原点处对曲线坐标的分数外微分变换,并获得了从三维卡氏坐标到球面坐标和柱面坐标的分数微分变换规则.

引证文献(6条)

1.王璇 渗透到微积分教学过程中的反例[期刊论文]-中国科教创新导刊 2009(13)2.刘福保 反例教学法在数学分析中的作用和构造[期刊论文]-科技创新导报 2009(11)

3.曹辉.闫敏伦 浅论"反例"在数学分析教学中的作用和构造[期刊论文]-中国科教创新导刊 2008(26)4.王丽 从分析中的反例看古今数学思想的变化[期刊论文]-理工高教研究 2006(2)5.许金泉 浅谈数学分析中构造法的应用[期刊论文]-惠州学院学报 2005(6)6.张云艳 构造辅助函数的一种新方法[期刊论文]-黔南民族师范学院学报 2004(6)

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