浅谈构造法在微积分中的应用

广西民族学院学报（自然科学版）

第!卷第"期

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浅谈构造法在微积分中的应用

黄淑林

（广西民族学院数学与计算机科学系，广西南宁

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摘要：浅谈构造法在微分中值定理的论证、反例的构想、解题证题等方面的一些应用3

关键词：微积分；构造法；应用中图分类号：*%&"文献标识码：+

构造法是微积分中常用的解题方法,它是利用转换思维的方法，根据题设条件，构想、组合成一种新的函数，方程，不等式等具体关系，使问题在新的关系下实现转化从而得到解决,

事实上，若要*（#）%*（$），即（!#）+,#%（!$）+,$&（）（）

就可以了-$)#

（!$）（!#）

故构造函数*（"）%（（"）满"&显然*!"）)

$)#

足罗尔定理的!"#-.在（#$）上至少有一点!，使*(（!）

（（）））（）（

即!(（（）%&.!(&这就%#，)!）!$)#$)#证明了拉格朗日定理-只须,%)

柯西定理

设（、（"）：［#，上连续；（#，!"）*$］!在"在

内可导且*(（"）（#，则在（#，内至少有一$）$），$）##"$

（（））（）-使点!，

$)*#%*(*!设想函数-（"）%（（"），令-（#）%-（$），即!"）+,*（））（

（（#）%（（$），得.%)!$）+,*!#）+,*-$)*#*

（/*(（"）（$）（#））##&.*#*

（"）%（故构造函数-!"）)

（）（）

（"） *

（）（#）*$)*

显然-（"）满足罗尔定理的!"#，（#，.在$）上至

%构造法在定理证明中的应用

根据定理的条件，先构造一个函数，使这个函数符合另一

已证明成立的定理，从而使所求证的定理得到解决，这种把未知问题化归为已知问题的方法，在微积分定理的证明中常有使用,例如罗尔定理，拉格朗日定理、柯西定理是三个重要的微分中值定理，一般在证明了罗尔定理的基础上，用构造函数的方法证明后两个定理,

罗尔定理

设函数（：［#，（#，!"）$］上连续；!在"在

内可导；（#，内至少有一点!（#’!$）!#）%（!$）&则在$）#（

使!(（’$）!）%#&

现在设想，若（满足!"，但不满足#，那么是否存在!"）（#’!’$），使!(（!!）%理提出的问题-（!#）!$）（

呢？这就是拉格朗日定

)为了研究这一问题，设想函数*（"）%（（!"）+,"）&,是待定系数），显然*（"）满足!"，若适当选取,的值，使*（"）也满足#，那么问题就化归为罗尔定理了-

少有一点!（#’!’$）使-(（（!）%#，即!(!）)

（（（）（））（））即（）#*(.$)*#!%$)*"%*(**!证得柯西定理&

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收稿日期："##"0#(0%",

作者简介：黄淑林（%12"0），女，广西民族学院数学与计算机科学系副教授,

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浅谈构造法在微积分中的应用

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!构造法在构造反例中的应用

数学的发展过程，是一个不断地提出问题和解决问题的

过程"而解决问题又是由给出证明或举出反例来完成，因而构造反例在数学理论中占着重要的地位!

例如在定积分的定义中，很强调两个“任意性”，即对区间［"，分法的任意性和在小区间［$%&#，#］$%］上选取!%的任意

’

（的极限不存在"这就要求在&（2’内""在2’处，)$，-）$）

)

又含有使函数值不相等的点"至"既有使相等的线性邻域，

%/

此，构造这个函数就轻而易举了"

（性，具体地说，就是要求积分和的极限$%&"（)!%）#$%"(%最

#’1-1$!（（如图!所大可取为射线上的距离’56（#(’时，#）任取）

示）"在此线性邻域3$31%内

"

如构造函数（)$，-）(

{

’

-’’或-($!

"!’

%(#

*"$｛#$%｝，#$%($%&$%&#）的存在既与［"#］的分法无关，又与!%在［$%&#，$%］

上的选取无关"对于后一个“任意性”是否必要？也就是能否构造一个函数（)$），当!%在［$%&#，$%］上取

’

不同的点时，积分和的极限$%&"（)!%）#$%也不同，

（即与"!’

%(#

!%的选取有关）"对此，举一个反例说明"事实上，狄里克雷函数就是一个最好的反例"+（$）(

{

#$为有理数"

’$为无理数"

$$

［"，#］"对于［"，#］的任一分法，

如果没有后一个任意性，若在’

’

$%&#，$%］中取!%有理数，则"+（!%）

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%(#"# #$%

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’

’

&"；若取,%无理数，则"+（,%）#$%(

’#$%

(’!这样

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一来，积分和就有#&"和’两个不同的极限值，这种引起定义上 …… 此处隐藏：6201字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……