习题课一、主要内容1、常数项级数

常数项级数审敛

数 级 收 ( 散 常 项 数 敛 发 ) limsn存 (不 在 . 在 存 )n→ ∞

收敛级数的基本性质 级数收敛的必要条件: 级数收敛的必要条件

常数项级数审敛法一般项级数 正项级数 任意项级数

1. 若 Sn → S ,则级数收敛; 则级数收敛 2. 当 n → ∞ , un → 0, 则级数发散; 3.按基本性质 按基本性质; 按基本性质 4.绝对收敛 绝对收敛 4.充要条件 充要条件 5.比较法 比较法 6.比值法 比值法 7.根值法 根值法 4.绝对收敛 绝对收敛 5.交错级数 交错级数 (莱布尼茨定理 莱布尼茨定理) 莱布尼茨定理

2、正项级数及其审敛法项 数 敛 分 所 的 列 正 级 收 部 和 成 数 sn有 . 界 (1) 比较审敛法 (2) 比较审敛法的极限形式 (3) 极 审 法 限 敛 设un → 0, vn → 0 若un与vn 是同阶无穷小则∑ un与∑ vn同敛散等价无穷小) 特别 若un ~ vn (等价无穷小) 则∑ un与∑ vn同敛散 尔D (4) 比 审 法 达 贝 D’Alembert 判 法 值 敛 ( 朗 尔 Alembert 别 )(5) 根 审 法 (柯 判 法 值 敛 西 别 )

3、交错级数及其审敛法 Leibniz定理 定理 4、任意项级数及其审敛法 绝对收敛，条件收敛 绝对收敛， 附： 正项级数与任意项级数审敛程序

∑ un发散N

∑ unun → 0Y ρ = limn u n

∑ un 收敛

ρ =

un + 1 lim un

0 ≤ un ≤ vn

Y N

ρ >1N

∑ vn收敛 ∑ un发散 ∑ un收敛 ∑ vn发散

ρ <1Y

∑ un发散N

∑ unun → 0Y

∑ un 收敛

∑ | u n |敛N

Y

∑un绝对收敛

用检比 法

用比较法 条 件 收 敛

用L—准则或考察部分和 准则或考察部分和N N

∑ un收敛

Y

二、典型例题例1 求极限3n 解 考察正项级数 ∑ un = ∑ n!2n un+1 3 n +1 n!2n lim = lim n 1 n→ ∞ u n→ ∞ ( n + 1)!2 + 3n n 3 = lim =0<1 n→ ∞ 2( n + 1) 3n 由检比法 ∑ n 收敛 n!2

3 lim n n→ n 2 ∞ !

n

由级数收敛的必要条件得

3n lim n = 0 n→ ∞ n!2

例2 设

limnan = a ≠ 0 试证n→ ∞

∑an

发散

证 不妨设 a > 0

由极限保号性知

an 由于 lim nan = lim = a > 0 n→ ∞ n→ ∞ 1 n a 故由比较法的极限形式得

N

当n > N时 an > 0

∑

n

发散

例3 若

A B C

∑un ∑vn 都发散 ∑ (u + v ) 必发散n n

则

必发散

∑ [| un | + | vn |]

必发散

D 以上说法都不对

例3

断 数 散 判 级 敛 性:

1n (n+ ) n 1 1 nn n n nn , = 解 un = 1 n 1 n (n + ) (1 + 2 ) n n 1 1 n 1 n2 n Q lim(1 + 2 ) = lim[(1 + 2 ) ] = e 0 = 1; n→ ∞ n→ ∞ n n 1 1 1 n x lim n = lim x = exp{lim ln x } n→ ∞ x →∞ x →∞ x 1 = exp{lim } = e 0 = 1; x →∞ xn=1

(1)

∑

∞

n

1 n+ n

;

∴ lim un = 1 ≠ 0, n→ ∞→∞

根据级数收敛的必要条件， 原级数发散. 根据级数收敛的必要条件， 原级数发散. ∞ ln(n+ 2) (2) ∑ (a > 0). 1 n=1 (a + )n n n ln( n + 2) 1 lim = n n ln( n + 2) , l

im lim 解 n→+∞ n un = n→+∞ 1 a →+∞ a+ n n Q n ≥ 2 时, n + 2 < e , 从而有

lim 1 < n ln( n + 2) < n n , 由于 n n n = 1, → +∞ 1 n u = lim n . lim n ln( n + 2) = 1, n→ +∞ n→ +∞ a

1 当 a > 1 即 0 < < 1 时, 原级数收敛； 原级数收敛； a 1 当 0 < a < 1 即 > 1 时, 原级数发散； 原级数发散； a ∞ ln( n + 2) 当 a = 1 时, 原级数为 ∑ , 1 n n=1 (1 + ) n ln( n + 2) Q lim = +∞ , 原级数也发散. 原级数也发散. n→ +∞ 1 n (1 + ) n

( 1)n 例4 判 级 ∑ 断 数 是 收 ？ 果 敛 否 敛 如 收 ， n=1 n lnn 条 收 还 绝 收 ？ 是 件 敛 是 对 敛1 1 > , 解 Q n ln n n 1 而 ∑ 发散, n=1 n n ∞ ∞ ( 1) 1 =∑ ∴ ∑ 发散 , n =1 n ln n n =1 n ln n∞

∞

即原级数非绝对收敛. 即原级数非绝对收敛. ∞ ( 1)n 由莱布尼茨定理： ∑ n ln n 是交错级数, 由莱布尼茨定理： n=1 ln n ln x 1 Q lim = lim = lim = 0, n→ +∞ n x → +∞ x x → +∞ x

1 1 lim lim ∴ n→+∞ = n→+∞ n = 0, ln n n ln n 1 n Q f ( x ) = x ln x ( x > 0), 1 f ′( x ) = 1 > 0 ( x > 1), ∴ 在 (1,+∞ ) 上单增, x 1 1 即 单减 , 故 当 n > 1 时单减 , x ln x n ln n 1 1 ∴ un = > = un+1 ( n > 1), n ln n ( n + 1) ln( n + 1)所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛. 所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛.

例5 设 试证 证

∑an ∑cn ∑bn 收敛

都收敛 且

an ≤ bn ≤ cn

由 an ≤ bn ≤ cn 知

0 ≤ bn an ≤ cn an

因 ∑ an ∑ cn 都收敛 故正项级数 ∑ (cn an ) 收敛 再由比较审敛法知 正项级数 而 bn = (bn an ) + an 即

∑ (bn an )

收敛

∑ bn 可表为两个收敛级数∑ (bn an ) ∑ an 之和 故 ∑ bn 收敛

例6 设 an > 0,bn > 0 且 an+1 ≤ bn+1 an bn 若 ∑bn 收敛 则 ∑an 也收敛

an+1 an a1 证 由题设知 ≤ ≤ L≤ bn+1 bn b1而 例7 设∞

a1 an ≤ bn b1

∑ bn

收敛

由比较法得

∑ an

收敛

Cauchy积分审敛法 积分审敛法

y = f ( x) > 0 单调减少 un = f (n) 则+∞

∑un n=1

与

∫ f (x)dx 1

同敛散

证

由 f(x) 单调减少知

uk +1 = f ( k + 1) ≤n k =1

k +1

∫ f ( x )dx ≤ kn+1 n +1

f ( k ) = ukn

∑ uk +1 ≤即∞

∫ 1

f ( x )dx ≤ ∑ ukk =1

S n+1 S1 ≤

故 例8 设

{un}

∑ un 与 n =1∞

+∞

∫ f ( x )dx ≤ Sn 1同敛散

∫ f ( x )dx 1

是单调增加且 …… 此处隐藏：1191字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……