§4.2

同角三角函数及三角函数的诱 导公式 基础知识 自主学习

要点梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： sin2α+cos2α=1 .

sin α =tan α (2)商数关系： cos α

.

2.下列各角的终边与角α的终边的关系 角 2kπ+α (k∈Z) π+ α -α

图示 与α角终边 的关系 角 图示 与α角终边 的关系

相同π- α

关于原 点对称π -α 2

关于x 轴对称π +α 2

关于y 轴对称

关于直线 y=x对称

3.六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α (k∈Z)sinα cosα tanα

二 -α

三 π- α

四 π+α-sinαtanα

五 π -α 2cosα sinα

六 π +α 2cosα -sinα

-sinα sinα

cosα - cosα -cosα -tanα -tanα

函数名不变 符号看象限

函数名改变 符号看象限

[难点正本

疑点清源]

1.同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的关系是由三角函数的定 y x 义决定的.例如：∵sin α= ,cos α= , r r 2 2 x + y ∴sin2α+cos2α= 2 =1. r (2)利用平方关系解决问题时， 要注意开方 运算结果的符号，需要根据角 α 的范围进 行确定.

(3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角 的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函 数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的 方法.

2.三角函数诱导公式 三角函数诱导公式

k f 2π+α (k∈Z)的本质 k f 2π+α (k∈Z)的本质

是：奇变偶不变，符号看象限. 对诱导公式口诀 “奇变偶不变，符号看象 π 限”含义的理解：即诱导公式的左边为 · k 2 +α (k∈Z)的正弦或余弦函数， 当 k 为奇数 时，右边的函数名称正余互变；当 k 为偶 数时， 右边的函数名称不改变， 这就是“奇 变偶不变”的含义，

再就是将 α“看成”锐角(可能并不是锐角， 也 可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是 π 任意角 ),然后分析 · k+ α (k∈Z)为第几象限 2 角，再判断公式左边这个三角函数(原函数 )在 此象限是正还是负，也就是公式右边的符号. 诱导公式的应用是：一是求任意角的三角函数 值，其一般步骤：①负角变正角，再写成 2kπ +α,0≤α<2π;②转化为锐角.

基础自测

11 - π 1.cos 2 =________. 3

1

解析

11 π cos - π =cos -4π+ =cos 3 3

π 1 = . 3 2

3 2.已知 cos(π+x)= ,x∈(π,2π),则 tan x 54 =________. 3

3 解析 ∵cos(π+x)=-cos x= , 5 3π 3 ∴cos x=- <0.∴x∈ π, . 2 5 4 4 此时 sin x=- ,∴tan x= . 5 3

3. (2010· 全国Ⅱ)已知 α 是第二象限的角， tan α 2 5 1 5 =- ,则 cos α=________. 2 ∵α 是第二象限的角，∴cos

α<0. sin α 1 2 2 又 sin α+cos α=1,tan α= =- , cos α 2 2 5 ∴cos α=- . 5 解析

4. cos(-2 009π)的值为

-1

解析 cos(-2 009π)=cos(-2 010π+π) =cos π=-1.

π 2 2π 3 5. 已知 cos -α = , 则 sin α- =________. 6 3 3 π π 2 解析 sin α- π =sin - - -α 3 2 6 π π π 2 =-sin + -α =-cos -α =- . 3 6 2 6

2

题型分类题型一

深度剖析

同角三角函数的基本关系式的应用

例 1 已知 α 是三角形的内角， 且 sin α+cos α 1 = . 5 (1)求 tan α 的值； 1 (2)把 2 用 tan α 表示出来， 并求其 cos α-sin2α 值.

1 思维启迪 (1)由sin α+cos α= 及sin2α+cos2α 5 =1,可求sin α,cos α的值； (2)1=sin2α+cos2α,分子、分母同除以cos2α 即可. 解 (1)方法一联立方程 1 由①得cos α= -sin α, 5

1 sin α+cos α= ① 5 2 2 sin α+cos α=1 ②

将其代入②,整理得25sin2α-5sin α-12=0. ∵α是三角形内角，∴sin α>0, 4 sin α=5 ∴ cos α=-3 5 4 ,∴tan α=- . 3

1 方法二 ∵sin α+cos α= , 5 1 2 2 ∴(sin α+cos α) = 5 , 1 24 即 1+2sin αcos α= ,∴2sin αcos α=- , 25 25 ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α 24 49 12 =1+ = .∵sin αcos α=- <0 且 0<α<π, 25 25 25 ∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0, 7 ∴sin α-cos α= , 5 1 4 sin α+cos α=5 sin α=5 由 ,得 , 7 3 sin α-cos α= cos α=- 5 5 4 ∴tan α=- . 3

sin2α+cos2α 1 (2) 2 2 = cos α-sin α cos2α-sin2α sin2α+cos2α tan2α+1 cos2α = 2 2 = 2 , cos α-sin α 1-tan α cos2α 4 ∵tan α=- , 3 4 2 - 2 +1 tan α+1 1 25 3 ∴ 2 =- . 2 = 2 = 7 4 cos α-sin α 1-tan α 2 1- - 3