哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

7.5 非线性特性的描述函数法描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年 首先提出的。 描述函数法的基本思想 非线性环节 正弦输入信号一定假设条件1

一次谐波 分量近似

等效 频率 特性

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基波：复合波的最低频率分量。在复杂的周期性 基波 振荡中,包含基波和谐波。和该振荡最长周期相等 的正弦波分量称为基波。相应于这个周期的频率 称为基本频率。 谐波:频率等于基本频率的整倍数的正弦波分量称为 谐波 谐波.谐波是相对基波而言的，一次谐波也就是基波， 频率为基波频率的n倍的信号，就叫做n次谐波。 谐波分析就是将非正弦信号分解为不同频率的正 谐波分析 弦信号的和或差。最典型的谐波分析是傅立叶分析。2

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描述函数法也称为谐波线性化法 谐波线性化法，或称为谐波 谐波线性化法 谐波 平衡法。这是一种工程近似方法。 主要分析非线性 平衡法 系统极限环的稳定性，以及确定非线性闭环系统在 正弦函数作用下的输出特性。 应用描述函数法分析非线性系统时， 系统的阶次 不受限制。

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7.5.1 描述函数的基本概念reN ( A)

y

-

G (s)

c

N ( A)

非线性环节， 是几个物理部件的等效非线性。

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用描述函数法研究如上图所示的系统，须有几个假设： 系统只有一个非线性环节； 假设非线性环节是时不变 定常 时不变的(定常 时不变 定常的); 非线性环节N对应正弦输入，只考虑其输出中的基波 分量。 非线性环节N后面的线性环节必须具有低通 滤波特性； 假设非线性特性关于原点对称(奇函数 奇函数)。 奇函数5

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e(t ) = A sin ωt∞

非线性环节

y (t )

y (t ) = Y0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt ) = Y0 + ∑ Yn sin ( nωt + φn ) = ∑ Yn sin ( nωt + φn )n =1 ∞ n =1 n =1 ∞

一次谐波 分量近似

y1 (t ) = Y1 sin (ωt + φ1 )

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在一定的近似条件下， 非线性元件的特性与通过 频率特性描述的线性元件的特性相类似。 非线性环节

e(t ) = A sin ωt

y1 (t ) = Y1 sin (ωt + φ1 )输出基波分量

复变函数

Y1 jφ1 N ( A) = e A7

称为描述函数 描述函数。 描述函数

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描述函数与线性元件的频率特性不同， 一般是 输入正弦振幅

A 的函数， 记为 N ( A) 。

当非线性元件具有储能特性(即N的特性不是用 N 代数方程，而是用微分方程描述)时，描述函数才是

A与 ω 的函数，记为：N ( A, ω )

。

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r

e

-

N ( A)

y

G (s)

c

c = N ( A)G ( jω )e e = r c 消去

e 得 [ N ( A)G ( jω ) + 1] c = N ( A)G ( jω )r9

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当外部输入为零，即

r =0

时，

[ N ( A)G( jω ) + 1] c = 0考虑非平凡情形，即 c ≠ 0 时

N ( A)G ( jω ) + 1 = 0这是系统存在极限环的必要条件 必要条件。 必要条件 上式也称为非线性系统的特征方程

非线性系统的特征方程。 非线性系统的特征方程

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7.5.2 描述函数的计算给定非线性系统方块图如下：

r

e

-

N ( A)

x

G (s)

c

非线性元件的正弦输入为

e(t ) = A sin ωt11

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非正弦周期输出：

x(t ) = A0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt ) = A0 + ∑ X n sin ( nωt + φn )A 其中： n =n =1 ∞ n =1

∞

1 2π A0 = ∫0 x(t )dωt 2π 1 2π Bn = ∫ x(t ) sin nωtdωt

∫ ππ

1

2π

0

x(t ) cos nωtdωt

0

Xn = A + B2 n

2 n

An φn = arctan Bn

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图像关于原点中心对称， 当非线性特性是奇函数时， 则有：A0

=0

输出基波分量为

x1 (t ) = A1 cos ωt + B1 sin ωt

= X 1 sin (ωt + φ1 )

A1 = B1 =

1

π1

∫

2π

0 2π

x(t ) cos ωtdωt x(t ) sin ωtdωt2 1

∫ π2 1

0

X1 = A + B

A1 φ1 = arctan B1

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非线性特性的描述函数为：

N ( A) =从而有：

A +B e A2 1 2 1

A1 j arctan B1

当非线性输出为单值奇函数时，有： 1 A

=0

A1 φ1 = arctan = arctan 0 = 0 B1

此时的描述函数 N ( A) 为实函数， 说明 x1 (t ) 与

e(t ) 同相。14

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7.5.3 典型非线性环节的描述函数1 饱和特性的描述函数

x b a0 0

x aAe0

bα1

π

2π

ωt

b

b e

α1

π2π ωt15

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输出 x (t ) 的数学表达式为：

kA sin ωt x(t ) = ka = b kA sin ωt

0 < ω t < α1

α1 < ω t < π α1 π α1 < ω t < π16

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饱和特性的描述函数为2 2k a a a arcsin + N ( A) = 1 A A π A

( A ≥ a)

或写为：2 N ( A) 2 a a a = arcsin + 1 k π A A A

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N ( A) k1

饱和特性

0

1

a A

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7.6 非线性系统的描述函数分析本节主要研究下列内容： 非线性系统的稳定性， 系统是否产生自持振荡； 如何确定自持振荡的振幅和频率； 系统的校正方法，以及消除自持振荡的方法。

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7.6.1 非线性系统的稳定性分析r-

e

N ( A)

x G(s)

c

非线性系统产生自持振荡的必要条件为：

1 + N ( A)G ( jω ) = 0或：

1 G ( jω ) = N ( A)

称为非线性特性 的负倒描述函数 负倒描述函数20

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若正弦函数 可使式

A0 sin ω0t 的振幅 A0 及角频率 ω0

1 + N ( A)G ( jω ) = 0 成立，则正弦函数 A0 sin ω0t 是此特征方程的一个解，即系统存在一个振幅为 A0、角频率为ω0 的等幅振荡， 或者说非线性系统的自持振荡。 这相当于线性系统开环频率特性 G ( jω ) 通过其 稳定临界点 ( 1, j 0) 的情形。21