哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

7.5 非线性特性的描述函数法描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年 首先提出的。 描述函数法的基本思想 非线性环节 正弦输入信号一定假设条件1

一次谐波 分量近似

等效 频率 特性

哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

基波：复合波的最低频率分量。在复杂的周期性 基波 振荡中,包含基波和谐波。和该振荡最长周期相等 的正弦波分量称为基波。相应于这个周期的频率 称为基本频率。 谐波:频率等于基本频率的整倍数的正弦波分量称为 谐波 谐波.谐波是相对基波而言的，一次谐波也就是基波， 频率为基波频率的n倍的信号，就叫做n次谐波。 谐波分析就是将非正弦信号分解为不同频率的正 谐波分析 弦信号的和或差。最典型的谐波分析是傅立叶分析。2

哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

描述函数法也称为谐波线性化法 谐波线性化法，或称为谐波 谐波线性化法 谐波 平衡法。这是一种工程近似方法。 主要分析非线性 平衡法 系统极限环的稳定性，以及确定非线性闭环系统在 正弦函数作用下的输出特性。 应用描述函数法分析非线性系统时， 系统的阶次 不受限制。

哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

7.5.1 描述函数的基本概念reN ( A)

y

-

G (s)

c

N ( A)

非线性环节， 是几个物理部件的等效非线性。

哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

用描述函数法研究如上图所示的系统，须有几个假设： 系统只有一个非线性环节； 假设非线性环节是时不变 定常 时不变的(定常 时不变 定常的); 非线性环节N对应正弦输入，只考虑其输出中的基波 分量。 非线性环节N后面的线性环节必须具有低通 滤波特性； 假设非线性特性关于原点对称(奇函数 奇函数)。 奇函数5

哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

e(t ) = A sin ωt∞

非线性环节

y (t )

y (t ) = Y0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt ) = Y0 + ∑ Yn sin ( nωt + φn ) = ∑ Yn sin ( nωt + φn )n =1 ∞ n =1 n =1 ∞

一次谐波 分量近似

y1 (t ) = Y1 sin (ωt + φ1 )

哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

在一定的近似条件下， 非线性元件的特性与通过 频率特性描述的线性元件的特性相类似。 非线性环节

e(t ) = A sin ωt

y1 (t ) = Y1 sin (ωt + φ1 )输出基波分量

复变函数

Y1 jφ1 N ( A) = e A7

称为描述函数 描述函数。 描述函数

哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

描述函数与线性元件的频率特性不同， 一般是 输入正弦振幅

A 的函数， 记为 N ( A) 。

当非线性元件具有储能特性(即N的特性不是用 N 代数方程，而是用微分方程描述)时，描述函数才是

A与 ω 的函数，记为：N ( A, ω )

。

哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

r

e

-

N ( A)

y

G (s)

c

c = N ( A)G ( jω )e e = r c 消去

e 得 [ N ( A)G ( jω ) + 1] c = N ( A)G ( jω )r9

哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

当外部输入为零，即

r =0

时，

[ N ( A)G( jω ) + 1] c = 0考虑非平凡情形，即 c ≠ 0 时

N ( A)G ( jω ) + 1 = 0这是系统存在极限环的必要条件 必要条件。 必要条件 上式也称为非线性系统的特征方程

非线性系统的特征方程。 非线性系统的特征方程

哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

7.5.2 描述函数的计算给定非线性系统方块图如下：

r

e

-

N ( A)

x

G (s)

c

非线性元件的正弦输入为

e(t ) = A sin ωt11

哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

非正弦周期输出：

x(t ) = A0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt ) = A0 + ∑ X n sin ( nωt + φn )A 其中： n =n =1 ∞ n =1

∞

1 2π A0 = ∫0 x(t )dωt 2π 1 2π Bn = ∫ x(t ) sin nωtdωt

∫ ππ

1

2π

0

x(t ) cos nωtdωt

0

Xn = A + B2 n

2 n

An φn = arctan Bn

哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

图像关于原点中心对称， 当非线性特性是奇函数时， 则有：A0

=0

输出基波分量为

x1 (t ) = A1 cos ωt + B1 sin ωt

= X 1 sin (ωt + φ1 )

A1 = B1 =

1

π1

∫

2π

0 2π

x(t ) cos ωtdωt x(t ) sin ωtdωt2 1

∫ π2 1

0

X1 = A + B

A1 φ1 = arctan B1

哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

非线性特性的描述函数为：

N ( A) =从而有：

A +B e A2 1 2 1

A1 j arctan B1

当非线性输出为单值奇函数时，有： 1 A

=0

A1 φ1 = arctan = arctan 0 = 0 B1

此时的描述函数 N ( A) 为实函数， 说明 x1 (t ) 与

e(t ) 同相。14

哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

7.5.3 典型非线性环节的描述函数1 饱和特性的描述函数

x b a0 0

x aAe0

bα1

π

2π

ωt

b

b e

α1

π2π ωt15

哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

输出 x (t ) 的数学表达式为：

kA sin ωt x(t ) = ka = b kA sin ωt

0 < ω t < α1

α1 < ω t < π α1 π α1 < ω t < π16

哈工大 史小平 自动控制原理 考研必备

饱和特性的描述函数为2 …… 此处隐藏：1122字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……