第四章

第四节 一阶常系数线性差分方程一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解

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一阶常系数线性差分方程的一般形式为

y x 1 ay x f ( x )

⑴

其中 a 0 为常数，f ( x ) 为已知函数。

当 f ( x ) 0时，称方程

y x 1 ay x 0

⑵

为一阶常系数齐次线性差分方程； 当 f ( x ) 0 时，方程⑴称为一阶常系数非齐次

线性差分方程。机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解y x 1 ay x 0⑵

1. 迭代法 若 y0 已知，则由方程⑵依次可得出：

y1 ay0 2 y2 ay1 a y0

y3 ay2 a y0 y x a x y0 , 于是3

y 得齐次方程的通解： x Ca .( C 为任意常数)x机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.特征根法 由于方程 yx 1 ayx 0 等同于 yx (1 a) yx 0, 设 yx ( 0) 代入方程得x

x 1 a x 0即

a 0

(3)

称方程(3)为齐次方程(2)的特征方程， 而 a 为特征方程的根，从而

yx Ca

x

( C 为任意常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束

是齐次方程的通解。

例1. 求 2 yx 1 yx 0 的通解。 解： 原方程的特征方程为 2 1 01 特征根为 于是原方程的通解为 2

1 yx C 2

x

( C 为任意常数)

思考：如何求 2 yx 1 yx 0 的满足初始条件

y0 2 的解。1 x 所求特解为 y x 2( ) 2机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解y x 1 ay x f ( x )非齐次方程的通解： y( x) Yx yx

⑴

1. f ( x) Pn ( x)

Pn ( x)为n次多项式，此时方程为

yx 1 ayx Pn ( x),(a 0)机动 目录 上页 下页 返回 结束

即

yx (1 a) yx Pn ( x)y 为其解， 则它应是什么类型的函数？ 若 x

(1)若 a 1 ,则令：

y Qn ( x) b0 x b1xn

x

n 1

bn 1x bnn 1

(2)若 a 1 ,则令：

y xQn ( x) x(b0 x b1xn

x

bn 1x bn )

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例2. 求 yx 1 2 yx 3x 的通解。2

解： (1)先求对应的齐次方程的通解。 对应的齐次方程

y x 1 2 y x 0特征方程与特征根分别为

2 0

2

于是对应齐次方程的通解为：Yx C 2x (2)再求非齐次方程的一个特解。机动 目录 上页 下页 返回 结束

yx b0 x2 b1x b2 a 2 1, 则令：

代入原方程，得

b0 ( x 1) b1 ( x 1) b2 2(b0 x b1x b2 ) 3x2 2

2

解得： 于是：

b0 3, b1 6, b2 9 yx 3x2

6x 9

(3)原方程的通解为：

yx C 2 3x 6x 9 ( C 为任意常数)x 2机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 求 yt 1 yt t 1 的通解.解: 原方程对应齐次方程的特征方程为 于是对应齐次方程的通解为： Yt C

1 0

a 1, 则令： y t (b0t b1 )代入原方程，得

t

b0 (t 1)2 b1 (t 1) (b0t 2 b1t ) t 1 1 2 1 1 1 b 于是：yt t t 解得： 0 , b1 2 2 2 2 1 2 1 y 原方程的通解为： t C t t ( C 为任意常数) 2 2机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. f ( x) Pn ( x)x

P 其中 0, 1为常数， n ( x) 为n次多项式。

yx x zx 作变换代入原方程，得

即

x 1

zx 1 a zx P ( x) nx x

zx 1 azx Pn ( x)

zx , 对此方程，我们会求它的一个解

yx x zx 于是机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 求 yx 1 yx x2 的通解。x

解:原方程对应齐次方程的特征方程为 1 0

于是对应方程的通解为： x C( 1) Yx

x

令： yx 2 zx 代入原方程，得 2zx 1 zx x

1 2 不难求得它的一个特解： z x 3 9 x

1 2 于是: y 2 ( x ) 3 9 原方程的通解为：* x x

1 2 yx C ( 1) 2 ( x ) (C 为任意常数) 3 9x x机动 目录 上页 下页 返回 结束

yt 1 ayt 2t 的通解。( a 0) 例5. 求解：先求 原方程对应的齐次方程 yt 1 ayt 0 的通解

Yt Ca

t

* yt . 令 yt 2t zt 再求原方程的一个特解

原方程化为 2 zt 1 azt 1 当 a 2 时，上述方程的一个特解为 当 a 2 时，上述方程的一个特解为* zt * zt

1 . 2 a1 t. 2目录 上页 下页 返回 结束

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于是

1 2t * 2 a yt 1 t 2t 2

(当 a 2 时) (当 a 2 时)

原方程的通解为 即

yt Yt

* yt

1 t Ca 2t 2 a yt C 2t 1 t 2t 2

(当 a 2 时) (当 a 2 时)

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基本要求:掌握一阶常系数齐次与非齐次线性差分 方程的求解方法。

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作业P209 A组 1(4), (5); 2(4), (6); 5; B组 2

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例1.

且满足方程

求 f (x) .

f ( x) sin x

x ( x t ) f (t ) d t 0 x x f (t ) d t t 0 0

提示: f ( x) sin x x

f (t ) d t , 则

f ( x) cos x f (t )d t x f (x) x f (x) 0 f ( x) sin x f ( x)问题化为解初值问题: 最后求得机动 目录 上页 下页 返回 结束

x

f ( x) f ( x) sin xf (0) 0 ,

f (0) 1

思考: 设 ( x) e x x

x 0

( x u

) d u , (0) 0,

提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有

解初值问题: 答案:

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例2. 设二阶非齐次方程 而对应齐次方程有解

有特解

及微分方程的通解 .解: 将 y x 2 代入 y ( x) y 0,

1 1 再将 y 代入 y y f ( x) x x 1 3 故所给二阶非齐次方程为 y y 3 x x方程化为一阶线性非齐次方程机动 目录 上页 下页 返回 结束

故

1 xdx e

1 2 C1 x x 1 y C1 x 2 C2 再积分得通解 x复习: 一阶线性微分方程通解公式 y p ( x) y f ( x)

3 x3

1 d x e x

d x C1

( C1 1 C1 ) 2

y e

p( x) dx

p( x) d x d x C f ( x) e机动 目录 上页 下页 返回 结束