二次函数

抛物线与三角形问题

--------面积类 面积类

二次函数

已知抛物线y=- 例 1: 已知抛物线 - x2+2x+3与 x轴交 与 轴交 两点， 点位于B点的左侧 于A,B两点，其中 点位于 点的左侧， 两点 其中A点位于 点的左侧， 轴交于C点 顶点为P, 与y轴交于 点，顶点为 ， 轴交于 (1,4) x 3 P 2 S△ AOC=______________4

9 S△ BOC=_______ 2

(0,3) C3 2

1

(-1,0)

A O2

B(3,0)y

二次函数

S△ COP S△ PAB

3 2 =_______

y

(1,4)4

P

8 =_______

(0,3) C3 2

1

(-1,0)A O2

B

(3,0)x

二次函数

y

S△ PCB=_______

3

D E E (0,3) C4 3 2

(1,4)P

S△ ACP=_______(-1,0) F FA

1

1

B O2

(3,0)

二次函数

y

(1,4) H为直线BC上方在 抛物线上的动点， 求△BCH面积的最 △ 面积的最 大值4

P

(0,3) C3 2

H (x,-x2+2x+3)

1

(x,-x+3) M2

(-1,0)A O

B

(3,0)x

S△BCH=S△MHC+S△MHB

二次函数

练习1:如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴 练习 ：相交于两点A(x1,0) B(x2,0)(x1<x2)与y轴负 半轴相交于点C,若抛物线顶点P的横坐标是1,A、 B两点间的距离为4,且△ABC的面积为6。 (1)求点A和B的坐标 A(-1,0) B(3,0) (2)求此抛物线的解析式 2 y

y=x2-2x-3(3)求四边形ACPB的面积

A O C P

B x

9

二次函数

练习2.(09深圳)在直角坐标系中，点A 练习的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕 原点O顺时针旋转120°,得到线段OB. B(1, 3) (1)求点B的坐标； (2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；y

3 2 2 3 y= x + x 3 3A O

B

x

二次函数

(3)如果点P是(2)中的抛物线上的动点， 且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？ 若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面 积；若没有，请说明理由.1 S PAB = S PAD + S PBD = ( yD yP )( xB xA ) 2 1 3 2 3 3 2 2 3 = 3 x + 3 3 x + 3 x × 3 2 3 2 3 = x x+ 3 2 2 3 1 9 3 = x+ + 2 2 82

y

B D

A P

O

xO

二次函数

(4)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C, 使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐 标；若不存在，请说明理由.y

设直线AB为y=kx+b.所以 3 k = k + b = 3, 3 解 得 2k + b = 0. b = 2 3 3 B

C

因此直线AB为 当x=-1时，

3 2 3 y= x+ 3 3y = 3 3

A

O

x

3 因此点C的坐标为(-1, ) 3