第四章 向量空间4.1 向量及其线性组合 4.2 向量组的线性相关性 4.3 向量组的秩 4.4 矩阵的秩

4.5 向量空间4.6 线性方程组解的结构

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§4.1 向量及其线性组合三维空间的向量: 有向线段。建立标准直角坐标系后，P ( x, y, z )O

它由一点 P 或一个三元数组 (x,y,z) 唯一确定。 我们还定义了向量的加法(即平行四边形法则)和向量的数 乘两种运算。

k 目录

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建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标)的运算.

( x1 , y1 , z1 ) , ( x2 , y2 , z2 ) ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )k ( kx1 , ky1 , kz1 )

由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中

的向量进行推广(把几何向量代数化)。直接把 n 元的数组叫做(代数中的)向量，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向 量坐标的运算。

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定义

n 个数组成的有序数组(a1 , a2 , , an )

或

a1 a 2 a n

称为一个 n 维行向量或 n 维列向量, 其中 a i 称为该行(列)向 量的第 i 个分量. 行向量与列向量统称为向量. 分量全是实数(复数)的向量称为实(复)向量, n 维实(复)向 量的全体记为 R n (Cn ) . 以后如无特殊说明, 向量均指实向量. 约定:所书写的向量如无特殊说明均指列向量,而行向量 用列向量的转置表示.

向量的加法运算和数乘运算同矩阵的这两种运算一样.目录 上页 下页 返回 结束

定义

由若干个同维数的列(行)向量组成的集合称为一个向量组.

如无特殊说明,向量组总是指含有限个向量的向量组.例如: m×n 的矩阵 A 全体列向量是含 n 个 m 维列向量的向 量组, 简称 A 的列组; 全体行向量是含 m 个 n 维的行向量组,简称

A 的行组.

a11 a 21 a m1再如:

a12 a 22 am 2

a1n a2n a mn

a11 a 21 a m1

a12 a 22 am 2

a1n a2n a mn

Am n x 0( r ( A) n) 解的全体是一个含无穷多个 n

维列向量的向量组.目录 上页 下页 返回 结束

向量的线性运算 向量是矩阵的特例，向量的相等、加、减、数乘

运算对应于矩阵的相应运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 在Rn中的向量满足以下8条规律：

(1) ( 3) 0 (4) ( ) 0

(5)( k l ) k l (7)k ( l ) ( kl ) (8)1

( 2) ( g ) ( ) g (6)k ( ) k k

其中 、 、g 都是n维向量，k、l为实数。目录 上页 下页 返回

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例1解

,求 使

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向量的线性表示对于向量组 A : 1 , 2 , , n , 表达式

k1 1 k2 2 kn n ( ki R)称为向量组 A 的一个线性组合.又如果 性组合, 即存在数 1 , 2 , , n 使

是向量组 A 的一个线

1 1 2 2 n n则称向量 可由向量组 A 线性表示.

通常写成

1 [ 1 , 2 , , n ] 2 n

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注意 1°零向量可由任一组向量线性表示。 2°向量组 线性表示， 中每个向量都可由向量组本身

i 0 1 0 i 1 1 i 0 i 1 0 m3°任一n元向量都可由n元单位向量组 线性表示，即

a1e1 a2e2 anen目录 上页 下页 返回 结束

线性方程组的向量表示 n元线性方程组 a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm

(1)

可以用向量形式表示为 x1 1 x2 2 xn n B a1n b1 a11 a12 a2 n b2 a21 a22 n B 其中 1 , , … , , 2 a a a b m m2 mn m1

对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为

x1 1 x2 2 xn n 0目录 上页 下页 返回 结束

定理3.1.1 向量 可由向量组 A : 1 , 2 , , n 线性表示

(按定义) 存在数 1 , 2 , , n 使

注意:符号混用

1 1 2 2 n n (转换为方程组) 方程组 x1 1 x2 2 xn n 即 Ax A [ 1 , 2 , , n ] 有解

(用矩阵的秩) r ( A) r[ A | ]另外, 如果解唯一, 则表示方法是唯一的. 如果 ……学会这种转换就可以了!目录 上页 下页 返回 结束

练习

2 1 5 1 1 2 5 3 3 , 1 3 , 2 12 , 3 6 4 1 11 3 1 2 5 3

问 是否可以由 1, 2, 3线性表示T 解 设 A ( 1 , 2 , 3 ), AX , X ( x1 , x2 , x3 )

A ( 1 , 2 , 3 ,| ) 1 2 3 1 2 5 5 12 11 5 1 0 2 / 3 1/ 3 2 0 1 1/ 3 1/ 3 3 1 0 B 6 3 初等行

变换 0 0 0 0 0 0 0 3 4 0 0 0 0 3 1 1目录 上页 下页 返回 结束

故r ( A) r ( A) 2

可以由 1, 2, 3线性表示 ，且表示方法有无穷多种。方程组 AX 与矩阵B相对应的同解方程组为

x1 1 3 2 3 x3 1 1 x x 3 3 3 2 则

x1 1 3 2 3 c 1 1 令x c x 3 3 c 2 x c 3 3

2 1 1 (1 c ) ( c) 2 c 3 1 3 3 3 3

( c R)

当c=1时， 1 3 当c=-2时， 1 2 2 3目录 上页 下页 返回 结束

例2

T T ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 1 ) , 设向量组 A: 1 2

3 (1,1,1 )T , 向量 (0,3, )T ,问 为何值时, 不能由 A 线性表示; 能由 A 唯一表示; 能由 A 有无穷多种表示, 并求所有表示方法.解 记 A [ 1 , 2 , 3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.具体解方程组过程略。

0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3 时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.目录 上页 下页 返回 结束

3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.通解为

x1 1 1 x k 1 2 2 1 0 x3

所有表示方法:

( k 1) 1 ( k 2) 2 k 3即

0 2 1 1 3 ( k 1) 1 ( k 2) 2 k 1 3 1 1 2

其中 k 为任意实数.目录 上页 下页 返回 结束

作业 P84 2、3、4、5(1) 前面例2

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第四章

向量空间Rn§4.1 向量及其线性组合§4.2 n元向量组的线性相关性

§4.3 向量组的秩§4.5 向量空间 §4.6 线性方程组解的结构目录 上页 下页 返回 结束

§4.2 n元向量组的线性相关性看看三维空间中的向量(如图) 3 2

1

4

设 4 可表为 4 k1 1 k 2 2 , 说明 1 , 2 , 4这三个向量在一个平面内(共面).

1 , 2 , 3 这三个向量任何一个都不能由其它两个向量线性表示, 说明它们是异面的.目录 上页 下页 返回 结束

我们把上面这种向量之间的最基本的关系予以推广,并换一种叫法. 定义定义1

如果存在不全为零的数 k1 , k 2 , , k m 使得

k1 1 k 2 2 k m m 0 k1 1 k 2 2 k m m 0

则称该向量组线性相关. 否则,如果设

便能推出 k1 k 2 k m 0 则称该向量组线性无关. 线性相关与线性表示之间的关系？

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定理4.2.1当m≥2时, 向量组

1 , 2 , m 线性相关 向量组

中至少有一个向量是其余m -1个向量的线性组合。线性相关与线性表示之间的关系

……(证明略)

定理4.2.1逆否命题当m≥2时，向量组

1 , 2 , m 线性无关 向量组目录 上页 下页 返回 结束

中任一个向量都不能用其余m -1个向量线性表示。

线性相关与 线性表示之 间的关系 等价定义 设向量组 A : 1 , 2 , , m ,如果其中一个

向量可由其余的向量线性表示, 则称该向量组线性相关; 否则,如果任一向量都不能由其余向量线性表示, 则称该 向量组线性无关(或独立).

如何用数学式子表达,以便理论推导向量组的相关性?

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