2.2等差数列

在过去的三百 多年里，人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星：

相差76

(1)1682,1758,1834,1910,1986,( 2062 )

你能预测出下一次 的大致时间吗？

主持人问: 最近的时间什么 时候可以看到哈雷慧星？ 天文学家陈丹说: 2062年左 右。

通常情况下，从地面 到10公里的高空，气 温随高度的变化而变 化符合一定的规律， 请你根据下表估计一 下珠穆朗玛峰峰顶的 温度。高度(km) 温度(℃) 1 28 2 21.5 3 15 4 8.5 5 2 … …

8844.43米

减少6.5

9 -24

(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.

你能根据规律在( ) 内填上合适的数吗？(1)1682,1758,1834,1910,1986,(2062). ( 2 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, (-20).

(3)

1,4,7,10,( 13 ),16,…

(4)

2, 0, -2, -4, -6,( -8 )…

它们的共同的规律是？d=76( 1 ) 1682,1758,1834,1910,1986,(2062)

d=-6.5( 2 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, ( -20).

d=3( 3 ) 1,4,7,10,( 13 ),16,…

d=-2( 4 ) 2,0,-2,-4,-6,( -8 ),…

定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

它们是等差数列吗？

an 是项数 n 的函数

(5)(6) (7)

1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10

×

5,5,5,5,5,5,…公差 d=0 常数列

x,3x,5x, 7 x,9 x,

公差 d= 2x

你会求它们的通项 公式吗？ (3)

a5 13 10 3 1 4 3…… an 1 (n 1) 3(4) 2,0,-2,-4,-6,-8 …

a4 10 7 3 1 3 3

a3 7 4 3 1 2 3

a2 4 1 3

1,4,7,10,13,16,…

an 2 (n 1) ( 2)

等差数列的通项公式如果一个数列

a1 , a2 , a3 , …,an , …

是等差数列，它的公差是d,那么

a2 a1 d

a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d a5 a4 d (a1 3d ) d a1 4d an a1 (n 1)d

n=1时亦适合

等差数列的通项公式a2 a1 da3 a2 d…

a4 a3 d

an 1 an 2 d

an an 1 d迭加得 an a1 (n 1)d

an a1 (n 1)d

用一下例1 (1) 求等差数列8,5,2,…,的第20项。解： a1

an a1 (n 1)d

8 , d 5 8 3, n 20 ,

a20 8 (20 1) ( 3) 49(2) 等差数列 -5,-9,-13,…,的第几项是 –401? 解： a1

5, d 9 ( 5) 4, an 401 , 5 (n 1) ( 4)

因此， 401 解得

n 100

练一练a4 15 ,

an a1 (n 1)da7 27, a10 39

1. 求等差数列3,7,11,…的第4,7,10项；

2. 100是不是等差数列2,9,16,…中的项？

100 2 (n 1) 7 n 157 3. -20是不是等差数列0,- 2 ,-7…中的项；

47 7 20 0 (n 1) n (舍) 7 2

例2

在等差数列中,已知a5=10,a12=31, 求首项a1与公差d. an a1 (n 1)d 解：由题意可知

a1 4 d 10 a1 11d 31

这是一个以 a1 和 d 为未知数的二元一次 方程组，解这个方程组，得 a1 2 d 3

即这个等差数列的首项是-2,公差是3.

练一练4. 在等差数列中

(1)已知a4 10, a7 19, 求a1与d.a1 1, d 3(2)已知a3 9, a9 3,求a12

a1 11, d 1

a12 0

思考在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列： 3 (1)2 ,(a b) , 4 (3) , ( 2

a

(2)-12,( -6 ) ,0

),

b

如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。a b A 2

an 1

an an 2 2

例4 求证：一个数列 an 为等差数列的充 要条件是 an pn q ( p, q为常数)

判断数列是否为等差数列的常用方法：

(1) 定义法: 证明an-an-1=d (常数)(2) 中项法: 利用中项公式，若2b=a+c, 则a, b, c成等差数列. (3) 通项公式法: 等差数列的通项公式是 关于n的一次函数.