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3.1 随机电压信号U t 在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：

（1）密度函数f u;t 、f u1,u2;t1,t2 和f u1,u2,...,uk;t1,t2,...,tk ，k为任意整数；

（2）U t 的平稳性。 3.1解：

x2

(1)f(u;t)

4u12 u221

f(u1,u2;t1,t2) f(u1,t1)f(u2,t2) exp{

4 4

k

f(u1,u2, ,uk;t1,t2 ,tk) f(ui,ti)

i 1

u

i 1

k

2

i

4

(2)由于任意k阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。

3.2

3.3

3.4 已知随机信号X(t)和Y(t)相互独立且各自平稳，证明新的随机信号Z(t) X(t)Y(t)也是平稳的。 3.4解：

X(t)与Y(t)各自平稳，设mX=E[X(t)]，mY=E[Y(t)]，

RX( ) E[X(t )X(t)]，RY( ) E[Y(t )Y(t)]

mZ(t) E[Z(t)] E[X(t)Y(t)] E[X(t)] E[Y(t)] mXmY，为常数

RZ(t ,t) E[Z(t )Z(t)] E[X(t )Y(t )X(t)Y(t)] E[X(t )X(t)] E[Y(t )Y(t)] RX( ) RY( ) RZ( )

RZ( )仅与 有关，故Z(t) X(t)Y(t)也是平稳过程。

3.5 随机信号X t 10sin 0t ， 0为确定常数， 在 , 上均匀分布的随机变量。若X(t)通过平方律器件，得到Y(t) X2(t)，试求：

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（1）Y(t)的均值； （2）Y(t)的相关函数；

（3）Y(t)的广义平稳性。

3.5解：(1)E[Y(t)] E[X2(t)] E[100sin2( 0t )] 50E[1 cos(2 0t 2 )] 50

2 RY(t ,t) E[Y(t )Y(t)] E[X2(t )X2(t)]

E[100sin2( 0t ) 100sin2( 0t 0 )] 2500E[1 cos(2 0 ) cos(4 0t 2 0 4 )] 2500E[1 cos(2 0 )]

RZ( )仅与 有关，且均值为常数，故Y(t)是平稳过程。

3.6 给定随机过程X t Acos 0t Bsin 0t ，其中 0是常数，A和B是两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为 2。证明X t 是广义平稳而不是严格平稳的。

3.6证明： mX(t) E[X(t)] E[Acos( 0t) Bsin( 0t)] 0

RX(t ,t) E[X(t )X(t)]

E{[Acos( 0t) Bsin( 0t)] [Acos( 0t 0 ) Bsin( 0t 0 )]} E[A2cos( 0t) cos( 0t 0 ) B2sin( 0t) sin( 0t 0 )]11

2E[cos(2 0t 0 ) cos( 0 )] 2E[cos( 0 ) cos(2 0t 0 )]22 2cos( 0 )

由于均值是常数，且相关函数只与 有关，故X(t)是广义平稳过程。

取t1

2

02 取t2 +时，X(t) B,

02 0

显然fX(x,t1) fA(x)不一定等于fX(x,t2) fB(x) X(t)不是严格平稳的。

时，X(t) A

3.7 Y(t)是广义周期平稳的实随机信号，平稳周期为100，有均值m(10) 20和相关函数R(5,1) 10，试求：

（1）E[5Y(110)]，E[10Y(310) 50]；

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（2）E[Y(105)Y(101)]，E[30Y(205)Y(201) 200]； （3）E[10Y(305)Y(301) 6Y(210) 80]。

3.7解：

Y(t)是广义周期平稳随机信号，

(1)E[5Y(110)] 5E[Y(10)] 5m(10) 5 20 100E[10Y(310) 50] 10E[Y(10)] 50 250

(2)E[Y(105)Y(101)] E[Y(5)Y(1)] R(5,1) 10

E[30Y(205)Y(201) 200] 30E[Y(5)Y(1)] 200 500

(3)E[10Y(305)Y(301) 6Y(210) 80] 10R(5,1) 6m(10) 80 300

3.8

3.9 两个统计独立的平稳随机过程X(t)和Y(t)，其均值都为0，自相关函数

分别为RX( ) e，RY( ) cos2 ，试求：

（1）Z(t) X(t) Y(t)的自相关函数； （2）W(t) X(t) Y(t)的自相关函数； （3）互相关函数RZW( )。 3.9解：

(1)RZ(t ,t) E[Z(t )Z(t)] E{[X(t ) Y(t )] [X(t) Y(t)]} E[X(t )X(t)] E[Y(t )Y(t)] RX( ) RY( ) e cos(2 )

(2)RW(t ,t) E[W(t )W(t)] E{[X(t ) Y(t )] [X(t) Y(t)]} E[X(t )X(t)] E[Y(t )Y(t)] RX( ) RY( ) e cos(2 )

(3)RZW(t ,t) E[W(t )Z(t)] E{[X(t ) Y(t )] [X(t) Y(t)]} RX( ) RY( ) RXY( ) RYX( )

又由于X(t)与Y(t)零均值相互独立，同时彼此正交，则RXY( ) RYX( ) 0 RZW(t ,t) RX( ) RY( ) e cos(2 )

3.10 3.11

3.12 广义平稳随机过程Y(t)的自相关函数矩阵如下，试确定矩阵中带下划线的空白处元素的值。

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21.30.4__ __21.20.8 0.41.2__1.1 0.9____2

3.12解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到：

21.30.40.9 21.20.8 C=

0.41.21.1 0.92

3.13

22

3.14 对于两个零均值广义平稳随机过程X t 和Y t ，已知 X 5， Y 10，

问下述函数可否作为自相关函数，为什么？ （1）RX 5u exp 3 ；

1

（2）RX 5sin 5 ；

（3）RY 9 1 2 2 ； （4）RY cos 6 exp ；

sin 3 sin 10 （5）RX 5 ； （6）R 6 4 。 Y

3 10

2

（6）RX 5exp( )； （7）RY 6 4exp( 3 2)。 解：根据平稳随机信号相关函数的性质，

(1)否，非偶函数 (2)否，非偶函数 (3) 否，RY(0) 9 2Y (4) 否，RY(0) 1在原点不是非负

(5)是 (6) 是 (7) 是 (8) 是

3.15

3.16 已知随机过程X(t)和Y(t)独立且各自平稳，自相关函数为

RX( ) 2ecos 0 与RY( ) 9 exp( 3 2)。令随机过程Z(t) AX(t)Y(t)，其中A是均值为2，方差为9的随机变量，且与X(t)和Y(t)相互独立。求过程Z(t)的均值、方差和自相关函数。 解：

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Z(t)的均值:

E[Z(t)] E[A X(t) Y(t)] 　　　　 E[A] E[X(t)] E[Y(t)]　　　　 2E[X(t)] E[Y(t)]

2mX RX( ) lim

2cos 0 e

0 mX 0

E[Z(t)] 0

Z(t)的相关函数：

Rz(s,t) E[A2X(s) Y(s) X(t) Y(t)] E[A2] E[X(s) Y(s) X(t) Y(t)] 13 E[X(s) X(t)] E[Y(s) Y(t)] 13 RX( ) RY( ) 26 e

3 2

cos 0 (9 e

)

Z(t)的方差：

D[Z(t)] RX(0) 26 10 260

3.17 3.18

3.19 平稳信号X(t)的功率谱密度为

2

（1）SX( ) 4

3 2 2 8 ( ) 20(1 /10),

（2）S( )

0, 求它们的自相关函数和均方值。

解：(1)

10

10

2 12

SX( ) 4

3 2 2 2 1 2 2

1 IFT

e 2 RX(0)

1

2

RX( )

(2) 根据傅立叶变换的对称性，有:

T 4sin2()

820,其中，T 10 RX( ) 22 2 T

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] RX( ) 4/ mX2 D[x(t)

2T0 /

RX(0) 204/

3.20

3.21 下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确表达式？为什么？

2

sin

（1）

（2）

2

3 3

6

2

（3）

( ) 4 1

2

（4）

4

j 1

2

62

（5）

42

2 1

（6） e ( 1)

3.21 判断的原则：实平稳信号功率谱是实的，非负的偶函数。

(1)是。 (2)是。

(3)不是， 0时值为负数。 (4)不是，功率谱为复数，与判断原则相悖。

(5)是。 (6)不是，因为它不是偶函数。

3.22 X(t)是平稳随机过程，证明过程Y(t) X(t T) X(t)的功率谱是

SY( ) 2SX( )(1 cos T)

3.22

Y(t)的相关函数：

RY( ) E[ X(t T) X(t) X(t T) X(t ) ]

E[X(t T) X(t T) X(t) X(t ) X(t) X(t T) X(t T) X(t )]

2RX( ) RX( T) RX( T) 2Sx( ) Sx( )e

FT

j T

Sx( )e

j T

2Sx( ) (1 cos T)

3.23

3.24 设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为

9e 3

RXY( )

0求互谱密度SXY( )与SYX( )。

0

0

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3.24

9

SXY( )3 j

9

SYX( ) SXY*( )

3 j

FT

RXY( )

3.25 设随机过程X(t) aiXi(t),式中ai是一组实常数。而随机过程Xi(t)为

i 1n

平稳的和彼此正交的。试证明：SX( ) ai2SXi( )

i 1

n

3.25

nnn

n Xi(t)相互正交2

RX( ) E aiXi(t) aiXi(s) E[ aiXi(t) Xi(s)] ai2RXi( )

i 1i 1i 1 i 1

n

ai2SXi( )

FT

i 1

3.31假定周期为T高为A的锯齿波脉冲串具有随机相位，如题图3.31所示，

它在t 0时刻以后出现的第一个零值时刻是[0,T)均匀分布的随机变量。试说明X(t)的一阶密度函数为

1/A

f(x;t)

0

x [0,T]

x [0,T]

3.31

题图3.31

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X(t)

A

T(T t) T T

A

X(t) t h(x)

已知 U(0,T)　 1

f 　　

(0 x T) (x) T

0　　　

(其它) f(t,x)

f [h(x)] h'

(x) 1A

0　　　

(其它)

(0 x T)