第一章 物理学和力学

1.1国际单位制中的基本单位是那些？

解答，基本量：长度、质量、时间、电流、温度、物质的量、光强度。 基本单位：米（m）、千克（kg）、时间（s）、安培（A）、温度（k）、摩尔（mol）、坎德拉（cd）。

力学中的基本量：长度、质量、时间。 力学中的基本单位：米（m）、千克（kg）、时间（s）。 1.2中学所学习的匀变速直线运动公式为

12

s v0t at,

2 各量单位为时间：s（秒），长度：m（米），

若改为以h（小时）和km（公里）作为时

间和长度的单位，上述公式如何？若仅时间单位改为h，如何？若仅

v0单位改为km/h，又如何？

解答，（1）由量纲dim v

3

LT

1

，dim a LT 2，

改为以h（小时）和km（公里）作为时间和长度的单位时，

1 3m/s 10km/h 10 3600km/h

3600

3.6km/h

12 3

m/s 10km/(h)2 10 3 36002km/h2

3600

3.6 3600km/h2

12

s 3.6v0t 3.6 3600at,

2（速度、加速度仍为

单位下的量值）

验证一下:

2

SI

v0 2.0m/s, a 4.0m/s, t 3600s 1.0h

12

s v0t at,

2利用计算得：

12

s 2 3600 4 3600

2

7200 25920000 25927200(m)

12

s 3.6v0t 3.6 3600at,

2利用计算得 12

s 3.6 2 1 3.6 3600 4 1

2

7.2 25920 25927.2(km)

（2）. 仅时间单位改为h

1

由量纲，dim a

dim v LT

LT

2

得

若仅时间单位改为h，得：

1m/s m/h 3600m/h

3600

3600m/h

12

m/s m/(h)2 36002m/h2

360022

3600m/h

验证一下:

122s 3600v0t 3600at,

2

2

v0 2.0m/s, a 4.0m/s, t 3600s 1.0h 12

s v0t at,

2利用计算得：

12

s 2 3600 4 3600

2

7200 25920000 25927200(m)

122

s 3600v0t 3600at,

2利用计算得： 122

s 3600 2 1 3600 4 1

2

7200 25920000 25927200(m) （3）. 若仅v0单位改为km/h

由量纲

dim v LT

3

1

,得

1

m/s 10km/(h) 3.6km/h,

36001

km/h m/s

3.6

仅v0单位改为km/h，因长度和时间的单位不变，将km/h换成m/s

得

验证一下:

112

s v0t at,3.62

v0 2.0m/s, a 4.0m/s2, t 3600s 1.0h

12

s v0t at,

2利用计算得：

12

s 2 3600 4 3600

2

7200 25920000 25927200(m)

112

s v0t at,3.62利用计算得： 12 10 312

s 3600 4 36003.61/36002

7200 25920000 25927200(m)

1.3设汽车行驶时所受阻力f与汽车的横截面积S成正比，且与速率

2vv之平方成正比。若采用国际单位制，试写出f、S和的关系式；

比例系数的单位如何？其物理意义是什么？

22

f sv, f ksv, 解答，

222 2

f[N] k[?]s[m]v[ms]

2

f[N]fkgmsfkg

k[?] 2[4 2] 2[3]222 2

s[m]v[ms]svmssvm

物理意义：体密度。

1.4某科研成果得出

mpM2 3m13

10()[1 10()]

m1m2m1

M、m、m和m12p表示某些物其中

29

3

29

体的质量，

10、10、 、和1为纯数即量纲1，你能否初步根据量纲判

断此成果有误否？

解答，可以看出式子两边的量纲为1。根据量纲判断此成果无误。

第二章 质点运动学（习题）

2.1.1质点的运动学方程为 求质点轨迹并用图表示。 解，①.x

(1).r (3 2t)i 5j,(2).r (2 3t) i (4t 1) j

3 2t,y 5,轨迹方程为y=5 x 2 3t

② y 4t 1消去时间参量t得：3y 4x 5 0

2t 2t r ei ej 2k2.1.2质点运动学方程为，（1）. 求质点

的轨迹；（2）.求自t=-1至t=1质点的位移。

x e

2t y e z 2解，① 消去t得轨迹：xy=1,z=2 2 2 2 2 r ei ej 2kr ei ej 2k 1 1②,, 22 2 2 r r 1 r 1 (e e)i (e e)j

2 r 4ti (2t 3)j，2.1.3质点运动学方程为（1）. 求质点

2t

的轨迹；（2）.求自t=0至t=1质点的位移。 解，①.x

4t,y 2t 3,消去t得轨迹方程

2

x (y 3)2 r 3j,r 4i 5j, r r r 4i 2j 110②0

2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为

R1 4100m, 1 33.7，0.75s后测得

R2 4240m, 2 29.3,R1,R2均在铅直平面内。求飞机

瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）。

解，

2 R R1 R2 2R1R2cos( 1 2)代入数值得： 2

R 41002 42402 2 4100 4240cos4.40

349.385(m)

利用正弦定理可解出 34.89

2.2.2一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为

349.385

v 465.8(m/s)

t0.75

R

y x2/200（长度mm）。第一次观察到圆柱体在

x=249mm处，经过时间2ms后圆柱体移到x=234mm处。求圆柱体瞬时速度的近似值。 解，

2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m。另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km，收听者离收音机2m，问谁先听到声音？声速为

340m/s,电磁波传播的速度为3.0 10解，

8

112.50

r( x)2 ( y)22 36.2252

v

t t2 19.6mm/ms

m/s。

在广州的人先听到声音。

2.2.4如果不允许你去航空公司问讯处，问你乘波音

747飞机自北京不着陆飞行到巴黎，你能否估计大约用多少时间？如果能，试估计一下（自己找所需数据）。

17 t1 0.05(s)

340

3

2320 102 t2 0.0136(s)8

3.0 10340 t2 t1

s t

v 解，

2.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h速率行驶，

303min后以70km/h速率向北偏西方向行驶。求列车的平均加速度。

解，

,r Rcosti Rsintj 2tk2.2.6（1）R

t=0,π/2时的速度和加速度。（2）

0 0 v1 90j,2 70cos60i 70cos30j, 0 0

v v2 v1 70cos60i (70cos30 90) j

22 v35 29.378 913.91(km/h2)

t0.05 0.071(m/s)913.91 0.05700

,sin 0.7659, 49.99

sin300sin

为正常数。求

2 3 r 3ti 4.5tj 6tk,求t=0,1时的速度和加速度（写出

正交分解式）。 解：（1）

当t=0时，

,r Rcost i Rsint j 2tk

dr ,v Rsint i Rcost j 2k

dt dva Rcost i Rsint j

dt

v Rj 2k, a R i, vx 0,vy R,vz 2,ax R,ay az 0

当t=π/2时，

v Ri 2k, a R j,

vx R,vy 0,vz 2,

ax 0,ay R,az 0

（2）

,r 3t i 4.5t2 j 6t3k

dr ,v 3 i 9t j 18t2k

dt dva 9 j

dt

当t=0时，

当t=1时，

v 3i, a 9 j,

2.3.1图中a、b和c表示质点沿

直线运动三种不同情况下的x-t图，试说明三种运动的特点（即速度，计时起点时质点的坐标，位于坐标原点的时刻）。

解，a 直线的斜率为速度

, v 3i 9j 18k, a 9 j 36k

dx

vax tg1200 1.732(m/s)

dt

t

0,x0 20m

b直线的斜率为速度

200

x 0, tg60,t|x 0 20/3 11.547(s)

t|x 0

vbx tg30 0.577(m/s)t 0,x0 10(m)

10

tg300,t|x 0 10/0.577 17.331(s) t|x 0

c 直线的斜率为速度

vcx tg45 1(m/s)t 0,x0 25(m)

2.3.2质点直线运动的运动学方程为x=acost, a为正常数。求质点速度和加速度并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）。 解，

t|x 0 25(s)

vx asint acos(t ),

2

ax acost acos(t )

a macost mx，是线性恢复力，质点受力F m

质点做简谐振动，振幅为a，运动范围在 a x a，速度具有

周期性。

2.3.3跳伞运动员的速度为

v铅直向下，β、q为正常量。求其加速度。讨论当时间足够长时（即t→∞），速度和加速度的变化趋势。 解，

1 ev , qt

1 e

qt

dvqe(1 e) qe(1 e)a qt2

dt(1 e)

qt

qt

qt

qt

2 qe qt2

(1 e)

t ,v ,a 0

qt

2.3.4直线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站。列车原行驶速度为v0 180km/h，其速度变化规律如图所示。求列车行驶至x=1.5km时加速度的大小。

解，

当x=1.5km时，

dvdvdxdv

v v0cosx,a v

5dtdxdtdx 22 v0sinx v0cosx v0sinx

555105

2.3.5在水平桌面上放置A、B两物体，用一不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来。C点与桌面固定。已知物体A的加速度

322

a 180sin 9675.67(km/h)

105 0.747(m/s2)

aA 0.5g，求物体B的加速度。

解，

以C为坐标原点，建立一维坐标系o-x。设绳的总长度为，B的坐标为xB，A的坐标为xA，则得 两端对t求导

3xA 4xB

dxAdxB

32 42 0, 3aA 4aB 0,dtdt333aB aA 0.5g g

448

2

x 10t 3t2.3.6质点沿直线的运动学方程为。

2

2

（1）将坐标原点沿ox轴正方向移动2m，运动学方程如何？初速度

有无变化？

（2）将计时起点前移1s，运动学方程如何？初始坐标和初始速度都发生怎样的变化？加速度变不变？ 解，（1）x

10t 3t

x x 2,x x 2，代入上式得：

22

x 2 10t 3t, x 3t 10t 2, dxdx 10 6t, vx v xdtdt 初速度不变。

2

x 10t 3t（2）

2

t t 1,t t 1代入上式得： x 10(t 1) 3(t 1)2

2 3t 4t 7 初坐标t 0,x 7(m)由0变为-7m.

vx 6t 4,初速度由10m/s变为4m/s.

2

加速度不变，都是6m/s.

以下四题用积分

2.4.1质点由坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度

ax 2t[cm/s2]，求在下列两种情况下质点的运动学方程、出

发后6s时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程： （1）初速度v0

（2）初速度v0的大小为9cm/s,方向与加速度方向相反。

解，（1）

0；

vx v0x axdt

t

，

2

vx 2tdt t2,

t

13x x0 vxdtx 0tdt 3t,

0，

t

t

当t=6s时，

x6 72(cm), x 72 0 72(cm),

质点运动的路程：(2)

s 72(cm)

t

2

vx 9 2tdt t 9

t

2

,

13

x (t 9)dt t 9t

03,

当t=6s时，

x6 18(cm), x 18 0 18(cm),

质点运动的路程如图，

vx t 9,vx 0,t 3,

2

13

x t 9t

t 3,x3 18,t 6,x6 18， 3，

质点运动的路程：

2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为

x

1

2

s 18 2 18 54(cm)

v 3sint.求t 3至t 5时间内的位移。

x x x 3sintdt 解，，

t

1

t1

2.4.3一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为

x x x 3sintdt 3cost| 3(cos5 cos3) 3.82(m)

2

1

3

2

x

x

5

53

a A cos t.在t=0时，v 0,x A,其中A、

均为正常数，求此质点的运动学方程。 解，

x

vx v0x axdt

t

2

t

t

，

v A cos t dt

A cos t d( t) A sin t

x x vdt，

x

t

x A A sin t dt

t

A Acos t| Acos t

t0

2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动。刚着陆时，t=0时速度为v0且坐标为

a bvx=0.假设其加速度为

x

2x

，b=常量，求此

质点的运动学方程。

dvxvdvxt2dvx

bvx,2 bdt, v2 b 0dtdtvxvx

解，，

v0

vx ,

(bv0t 1)

x0

x x0 vxdt

t

，

v01td(bv0t 1)

x 0dt 0

(bv0t 1)b(bv0t 1)

t

解以下四题中匀变速直线运动时应明确写出所选的坐标系、计时起点和初始条件。

2.4.5在195m长的坡道上，一人骑自行车以18km/h的速度和-20cm/s2的加速度上坡，另一自行车同时以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度下坡。问（1）经过多长时间两人相遇；（2）两人相遇时，各走过多少路程。 解，

11t

ln(bv0t 1)|0 ln(bv0t 1)bb

建立坐标系o-x,原点为质点1的初始位置。

对上坡的质点1:t=0,v10=5m/s, x10=0, a1=-0.2m/s2, 对下坡的质点2:t=0,v20=-1.5m/s,x20=195m, a2=-0.2m/s2,

相遇时，x1=x2,所需时间设为t，则

1122

5t 0.2t 195 1.5t 0.2t,

22t 30(s)

质点1的速度表达式为：v1

1212x10 v10t a1t x20 v20t a2t,

22

v10 a1t 5 0.2t

v1 0,t 25s，所以质点1的路程为两段路程之和，如图所式。

前25s的路程：

12

5 25 0.2 25 62.5(m),

2

1

0.2 52 2.5(m)2

后5s的路程： s1 62.5 2.5 65(m)

质点2的路程：195-62.5+2.5=135(m)

2.4.6站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面。火车开动后经过△t=24s，第一节车厢的末尾从此人的面前通过。问第七节车厢驶过他面前需要多长时间？火车作匀加速运动。

122 at,a 2,224 解，

设火车第六节末尾经过此人的时间为t6，

火车第七节末尾经过此人的时间为t7，

1212

6 at6,7 at7,

22