微积分答案(上册)(刘迎东版)

3．1导数与微分的概念

习题3.1

1.证明 cosx sinx.

证明：'

y cos x x cosx

x x x 2sin x sin 2sinx 1 x 2 sinx x x 22

所以 cosx sinx.

2.根据导数定义求下列函数的导数：

（1）y ax c.

解：y''a x x c ax c a x lim lim a. x 0 x x 0 x

（2）y 1.x

11 x1'解：y lim lim 2. x 0 x 0x xx x xx

（3

）y

'x

0 . lim x x解：

y lim x 0

（4）y x2 x.

解：y lim' x x x x x2 x 2

x 0 x2x x x x lim 2x 1. x 0 x2

1 2xsin,x 0, '（5）f x 求f 0 .x 0,x 0,

'解：f 0 limx 0f x f 0 x 0x2sin limx 0x1 0.

3．证明y sinx在x 0点不可导。

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证明：limx 0sinx sin0x 0

2

3 limx 0sinxx不存在，所以y sinx在x 0点不可导。4.证明y x在x 0点的右导数为 ,而左导数为 .

证明：y 0 lim 'x 0x 01x 01' lim 1 ,y 0 lim lim 1 . x 0x 0x 0x 0x 03xx3

'''23235.求下列函数f x 的f 0 及f 0 ，且判断f

（1）f x 0 是否存在： sinx,x 0,

ln 1 x ,x 0;

'

x 0解：f ' 0 sinx cos0 1,f ' 0 ln 1 x 'x 0 11 x 1.f' 0 1.

x 0

x,x 0,1 （2）f x 1 ex

0,x 0;

解：

x

1

x 0 lim x 0x11 e1

x1x 0 lim x 0f ' 0 lim x 0x 0

存在。 1,f ' 0 lim x 0x 011 e1x 0f' 0 不

x2,x 0,（3）f x x,x 0;

解：f 0 x ''x 0 1,f ' 0 x2

3'x 0 2xx 0 0.f' 0 不存在。6.已知物体的运动规律为s t

解：v t s t t' m ，求这物体在t 2 s 时的速度。 3t3'2，所以这物体在t 2 s 时的速度为12m/s。

7.如果f x 为偶函数，且f

证明：' 0 存在，证明f' 0 0.

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f' 0 limx 0f x f 0

limu 0x 0f u f 0 u limx 0f x f 0 所以f' 0 0. lim u 0xf u f 0 u f' 0 ,

'8.证明若函数f x 在 , 上是可导的奇（或偶）函数，则f

（或奇）函数。

证明：设f x 在 , 上是可导的奇函数，则 x 在 , 上是偶

f' x lim x 0f x x f x f x x f x lim f' x ，所以f' x 在 x 0 x x

, 上是偶函数。

设f x 在 , 上是可导的偶函数，则

f' x lim x 0f x x f x f x x f x ' lim f' x ，所以f x 在 x 0 x x

, 上是奇函数。

9.设f x 在x0点可导， n, n分别为趋于零的正数列，证明

limn f x0 n f x0 n f' x0 . n n

证明：0

f x0 n f x0 n f' x0 n n n f x0 n f x0 n f x0 n f x0 '' fx fx 0 0 n n n nn n f x0 n f x0 f x0 n f x0 f' x0 f' x0 0 n n

f x0 n f x0 n f' x0 . n n所以limn

10．求曲线y sinx在具有下列横坐标的各点处切线的斜率：

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2x ,x .3

解：y cosx。所以横坐标为x 斜率为 1.

11.求曲线y cosx上点 '21 的点处切线斜率为 .横坐标为x 的点处切线32 1 , 处的切线方程和法线方程。 32

解：y sinx。所以 ' 1 。所以切线方程

, 处切线的斜率为

2 32

为y 1 1 法线方程为 x ,y x ,22 3

23

212.在抛物线y x上取横坐标为x1 1和x2 3的两点，作过这两点的割线。问该抛物线

上哪一点的切线平行于这条割线？

解：所取两点为 1,1 , 3,9 ，所以割线斜率为

行于这条割线。9 1 4。y' 2x，所以 2,4 处的切线平3 1

x2,x 1,13.设函数f x 如果函数f x 在x 1处连续且可导，a,b应取什么值？

ax b,x 1.

解：f 1 1 limx limf x ,limf x lim ax b a b.所以要使f x 在 2x 1x 1x 1x 1

x 1处连续应满足a b 1.在此条件下，f ' 1 ax b

所以要使得f x 在x 1处可导，需要a 2,b 1.'x 1 a,f ' 1 x2 'x 1 2,

sinx,x 0,14.已知f x 求f' x . x,x 0,

解：x 0时，f

'' x sinx '' cosx。x 0时，f' x x 1。易得f x 在0处''连续，f 0 1,f 0 cos0 1，所以f 0 1.

215.证明：双曲线xy a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a.

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a2 a2a2

'证明：任取双曲线xy a上一点 x0,后知y 2，所以过 ，双曲线写成y xxx0 2

a2 a2a2

2 x x0 ，算得其与x轴交点为 2x0,0 ，与y轴交点为 x0, 的切线为y x0 x0x0

2a2 2 0, ，所以双曲线xy a上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 x0

2a2.

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3.2微分和求导的法则

习题3.2

1.推导余切函数及余割函数的导数公式：

cotx ' csc2x, cscx cscxcotx.

''

'''22 cosx cosx sinx cosx sinx sinx cosx解： cotx csc2x. 22sinxsinx sinx

' 1 1 sinx 1 sinx cosx cscxcotx. cscx 22sinxsinx sinx '''

2.求下列函数的导数：

72 124xx

282'2解：y 3x 5 2.xx（1）y x 3

（2）y 5x3 2x 3ex

解：y' 15x2 2xln2 3ex.

（3）y 2tanx secx 1

解：y' 2sec2x secxtanx.

（4）y sinxcosx

解：y' cos2x sin2x cos2x.

（5）y x2lnx

解：y' 2xlnx x.

（6）y 3excosx

解：y 3ecosx 3esinx 3e'xxx cosx sinx .

lnx

x

1 lnx'解：y .x2（7）y

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ex

（8）y 2 ln3x

exx2 2xex x 2 e解：y .43xxx'

（9）y x

'2 lnx cosx2解：y 2x lnx cosx xcosx x

（10）s

解：s ' lnx sinx.1 sint1 costcost 1 cost sint 1 sint

1 cost

1

x

1 dx.2 x 2 1 cost sint 1 cost 2.3.求下列函数的微分：（1

）y 解：dy

（2）y xsin2x

解：dy sin2xdx xd sin2x sin2x …… 此处隐藏：4089字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……