高等数学 1-7无穷小的比较1-8

第一章

§1.7 无穷小的比较3 x , x 2 , sin x,ln(1 x), x 都是无穷小, 引例 x 0 时 , sin x x2 x sin 1 x lim 2 , lim lim 0, 但 x 0 x 0 x x 0 3 x x sin x ln(1 x) sin x 1 lim , lim =1, lim x 不存在. x 0 x x 0 3 x 3 x 0可见两个无穷小的商的极限是各种情况均可以发生 .

定义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,

若 lim 0 , 则称 是比 高阶的无穷小, 记作 o( ) 若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小; 若 lim C 0 , 则称 是 的同阶无穷小; 若 lim k C 0 , 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~ 或 ~

例如 , 当 x 0 时

x 3 o( 6x 2 ) ; sin x ~ x ; tan x ~ x arcsin x ~x又如 ，

1 cos x lim 2 x 0 x故 时

2 x 2 sin 2 lim 2 x 0 4( x ) 2

1 2

是关于 x 的二阶无穷小, 且

1 cos

1 x2 x~ 2

例1. 证明: 当

时,

~

证:

(a n 1 a n 2b b n 1 ) a b ( a b)n n

~一般地:~kα (α→0)

关于等价无穷小有下面两个定理: 定理1.

~

o( )

例如, x 0 时,

~

tan x ~x , 故tan x x o( x)

x 0 时,

本定理在近似计算方面有应用价值.定理2 . 设 且 存在(或为∞) , 则

lim 例如,

(或为∞)

2x 2 tan 2 x . lim lim x 0 5 x 5 x 0 sin 5 x

0 说明: 等价无穷小代换可大大简化 “ ”型的极限计算 0 但要注意下述规则.(1) 和差时,不要轻易进行等价代换

tan x sin x x x 事实上原式=1/2 lim 3 0 例如, lim 3 x 0 x 0 x 见例2 x(2) 常用的几组等价无穷小: x 0 时

sin x ~ x, arcsin x ~ x,

tan x ~ x, arctan x ~ x,

e x 1 ~ x,

ln(1 x) ~ x,

x2 1 cos x ~ , 2

(1 x)k 1 ~ kx.

1 ln(1 x) limln(1 x) x lim x 0 x 0 x 1 ln[lim(1 x) x ] ln e 1.

x 0

t e x 1 令e x 1 t lim 1. lim t 0 ln(1 t ) x 0 x

(1 x) k 1 ek ln(1 x ) 1 ~ k ln(1 x) ~ kx.log a (1 x) 1 ; 类似可证：lim ln a x 0 x x a x 1 ~ x ln a log a (1 x) ~ ; 从而 ln aax 1 ln a lim x 0 x

tan x sin x 例2. 求 lim . 3 x 0 x解:原式

x x 原式 lim 3 x 0 x

1 x2 x 2 lim 3 x 01 x2 )3

x

(1 1 . 例3. 求 lim x 0 cos x 1解:

例4.求 解:

原式

例5.求

解:

原式

内容小结1. 无穷小的比较

设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 0

是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小

常用等价无穷小 :

arctan x ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x, x2 e x 1 ~ x, ln(1 x) ~ x, 1 cos x ~ , (1

x)k 1 ~ kx. 2 x a x 1 ~ x ln a log a (1 x) ~ ; ln asin x ~ x,

作业习题1-73 ; 4 (2) , (3) , (4) ; 5 (3)

函数求极限小结1.初等函数有定义的点求极限等于函数值。

2.利用左右极限求极限。3.利用无穷小性质及极限四则运算法则求极限。

4.利用两个重要极限求极限。5.利用极限收敛准则求极限。 6.利用等价无穷小代换求极限。 特别注意

0 型，及 0

型不定式

例1. 求下列极限：

(1) lim (sin x 1 sin x )x

(2)

1 x 2 lim sin x x 1

提示: (1) sin x 1 sin x

x 1 x x 1 x 2 sin cos 2 2 1 x 1 x 2 sin cos 2( x 1 x ) 2无穷小 有界

→0

三角函数和差化积公式(1)sin sin 2sin

2 2 (2)sin sin 2sin cos 2 2 (3) cos cos 2sin (4) cos cos 2cos

cos

2 2

sin cos

2

2

(2)

lim 1 x x 1 sin x令 t x 1

2

t (t 2) lim t 0 sin (t 1) t (t 2) lim t 0 sin t t (t 2) 2 lim t 0 t