习题二

1．化下列矩阵为Smith标准型：

1 λ （1） λ

1+λ2 0 0

（2）

0 2

λ λ

λ2λλ2

λ λ ; λ2

0λ2

λ2 λ0

;

00

00

0(λ 1)2

3λ2+2λ 32λ 1λ2+2λ 3 （3） 4λ2+3λ 53λ 2λ2+3λ 4 ; λ2+λ 4λ 2λ 1 301λ 2λ 4λ 3λ+60λ+22λ (4) 06λλ2λ0 . λ 10λ 100 00 3λ 31 λ2λ 2

解：（1）对矩阵作初等变换（化成Smith型可以进行行列变换，代进行满秩分解和方程求解时

只能进行行变换，）

1 λλ2

λ λ

1+λ2λ2 1λ2 1λ2λ λ

λ →0λ λ →c1+c3 r3 r1 0λ

1λ2 λ2 00 λ2

0 10

c3+c2 0λ ，

λ →0 r1×( 1)

λ(λ+1) 00λ(λ+1)

1 λ

；

λ(λ+1)

λ

λ λ(λ+1)

10

c2 λ2c1 0λ →c3 λc1

00

则该矩阵为Smith标准型为

（2）矩阵的各阶行列式因子为

D4(λ)=λ4(λ 1)4,D3(λ)=λ2(λ 1)2,D2(λ)=λ(λ 1),D1(λ)=1,

从而不变因子为

d1(λ)=1,d2(λ)=

Smith标准型为

D2(λ)D(λ)D(λ)

=λ(λ 1),d3(λ)=3=λ(λ 1),d4(λ)=4=λ2(λ 1)2故该矩阵的D1(λ)D2(λ)D3(λ)

000 1

0λ(λ 1) 00 ； 00λ(λ 1)0 22 000λ(λ 1)

（3）对矩阵作初等变换

3λ2+2λ 32λ 1λ2+2λ 3 c c 3λ2 22λ 1

3

2 c1 223 c24λ+3λ 53λ 2λ+3λ 4 → 4λ 33λ 2 λ2+λ 4 λ2 2λ 2λ 2λ 1

λ4+7λ2 6 λ3+2λ2+4λ 50 r2 r12

→λ 1λ 102

r1 (λ 2)r3

2 λ 2λ 21

λ2 2

λ2 2 1

λ4+7λ2 6 λ3+2λ2+4λ 50

2 c1 (λ 2)c32

→λ 1λ 10c2 (λ 2)c3

001 λ3+λ2 λ 1 λ3+2λ2+4λ 50 c1 (λ+1)c2

→ 0λ 10

001 λ3 λ2 λ+100 00 1 r1 r3 r1+(λ2 λ 5)r2 →0λ 10 →0λ 10r1×( 1)c c 13

2 001 0(λ 1)(λ+1) 0

故该矩阵的Smith标准型为

1

λ 1 ;

2

(λ 1)(λ+1)

(4)对矩阵作初等变换

301λ 00 2λ 0

4λ 03λ+60λ+22λ00c 2c

c 3c

06λλ2λ0 → 00λ

0λ 100 0λ 1 λ 1 λ 1

00 3λ 31 λ2λ 2 3λ 31 λ2λ 2

1

2

531λ λ+22λ 2λ0

00 00

0 0

00c1+3c2 c3+2c2

→ 00

λ 10 01 λ01λ 001λ 0

0 0λ+22λ 00λ0 r 2 2r1

c3 c1

→ 0λ2λ0 0λ2λ0

λ 100 λ 10000

000 01 λ000

0 0

0r λr0c 2c c λc → 00

0 λ 1

01 λ

2

45

1340 0 1

00 λ2 c c 0 λ2

c c

λ00 → 00

000 0 0

000 00

1

2

45

0100

λ0

0 00

00

λ 10 01 λ

在最后的形式中，可求得行列式因子

D5(λ)=λ3(λ 1)2,D4(λ)=λ(λ 1),D3(λ)=D2(λ)=D1(λ)=1,

于是不变因子为

d1(λ)=d2(λ)=d3(λ)=1,d4(λ)=

Smith标准形为

D4(λ)D(λ)

=λ(λ 1),d5(λ)=5=λ2(λ 1)故该矩阵的

D3(λ)D4(λ)01000

000

000

100 .

0λ(λ 1)0 00λ2(λ 1)

1

0 0 0 0

2.求下列λ 矩阵的不变因子：

0 λ 2 1

；（1） 0λ 2 1

0λ 2 0 λ+α β（2）

0 0 λ 0（3）

0 5

βλ+α0010λ+α β0 0 ； 1

λ+2

0 1 ；β λ+α

10λ 104

λ3

01λ+2 0

0 1λ+20 .（4） 1λ+200

000 λ+2

解：（1）该λ 矩阵的右上角的2阶子式为1，故

D1(λ)=D2(λ)=1,

而

D3(λ)=(λ 2)3，

所以该λ 矩阵的不变因子为

d1(λ)=d2(λ)=1,d3(λ)=(λ 2)2;

（2）当β=0时，由于

D4(λ)=(λ+α)4,D3(λ)=(λ+α)2，D2(λ)=D1(λ)=1，

故不变因子为

d1(λ)=d2(λ)=1，d3(λ)=(λ+α)2,d4(λ)=(λ+α)2

当β

≠0时，由于

D4(λ)=[(λ+α)2+β2]，

且该λ 矩阵中右上角的3阶子式为

2β(λ+α),且( 2β(λ+α),D4(λ))=1，

则D3(λ)=1，故D2(λ)=D1(λ)=1，所以该λ 矩阵的不变因子为

d1(λ)=d2(λ)=d3(λ)=1,d4(λ)=[(λ+α)2+β2];

（3）该λ 矩阵的右上角的3阶子式为 1，故

D1(λ)=D2(λ)=D3(λ)=1,

而

D4(λ)=λ4+2λ3+3λ2+4λ+5，

所以该λ 矩阵的不变因子为

d1(λ)=d2(λ)=d3(λ)=1,d4(λ)=λ4+2λ3+3λ2+4λ+5;

（4）该λ 矩阵的行列式因子为

D1(λ)=D2(λ)=D3(λ)=1,D4(λ)=(λ+2)4,

所以该λ 矩阵的不变因子为

d1(λ)=d2(λ)=d3(λ)=1,d4(λ)=(λ+2)4.

3．求下列λ 矩阵的初等因子：

λ3+2λ3+1 （1） 3

；232

2λ λ λ+32λ λ λ+2 λ3 2λ2+2λ 1λ2 2λ+1 （2） 3 .22

2λ 2λ+λ 12λ 2λ

解：(1)该λ 矩阵的行列式因子为

D1(λ)=1,D2(λ)=(λ+1)(λ 1)2，

故初等因子为λ+1,(λ 1)2；

(2)该λ 矩阵的行列式因子为

D1(λ)=λ 1,D2(λ)=(λ+1)(λ 1)2，

故不变因子为

d1(λ)=λ 1,d2(λ)=(λ+1)(λ 1),

因此，初等因子为λ+1,λ 1,λ 1.

4．求下列矩阵的Jordan标准形：

7 3 131616 45 2 3

；（1） 5 7 6 ；（2） 2 21 ；（3） 2 52

6 8 7 1 11 4 103 1

33 11 1 0 0

；（4） 3 33 ；（5） 1（6） 86 0

2 222 14 10

0

解：（1）设该矩阵为A，则

2

10032104 3 .2 1

0 10

，

λE A→ 010

2

00(λ 1)(λ+3)

故A的初等因子为

(λ 1)2(λ+3)，

则

A的Jordan标准形为

300 011 ； 001

（2）设该矩阵为

A，则

0 10

，

λE A→ 010

3

00(λ 1)

故

A的初等因 …… 此处隐藏：3458字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……