选修2—1 2.4.1抛物线及其标准方程 （学案）

（第2课时）

【知识要点】

1. 抛物线在解决实际问题中的应用；

2. 运用抛物线的定义处理最值问题. 【学习要求】

1.感受抛物线在解决实际问题中的作用;

2.能熟练运用抛物线的定义解决问题,通过作图,进一步体会数形结合的数学思想在解题中的应用.

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第66 页～第67页）

1. 通过预习教材中的例2,你认为当曲线的特征符合我们所学的某种曲线时,应运用 法来求出曲线方程.

2. 在建立平面直角坐标系时,应掌握什么基本原则?

3. 教材中例2的求解过程在建系方面有什么优点?你能不能尝试另外的建系方法来解决该题?尝试后请你谈一下不同的建系方法的得到的结果是否相同?答案是否都正确?

4. 通过上一节问题的处理,体会到抛物线定义在处理问题时的最大优点就是把抛物线上点到焦点的距离转化成 的距离.

5. 平面内两点之间 线段最短. 【基础练习】

2

1．抛物线y 2px (p 0 ) 上一点M到焦点的距离是a(a

p2

),则点M到准线

的距离是 , 点M的横坐标是 .

2. 抛物线y 12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是. 3. 抛物线y 2ax(a 0)的焦点坐标是 【典型例题】

例1 点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x 5 0的距离小1，求点M的轨迹方程.

变式1：已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M( 3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值.

例2 一种卫星接收天线的轴截面如下图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.

2

2

已知接收天线的径口（直径）为4.8m，

深度为0.5m.建立适当的坐标系，求抛物 线的标准方程和焦点坐标.

变式2：一条隧道的横断面由抛物

线弧及一个矩形的三边围成,尺寸如图(单位:m).一辆卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3m,车与箱共

高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由例3 已知M为抛物线 y 2 4 xFP(3,1),则 MP MF的最小值为（ ）.

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

变式练习3： 在抛物线y2 2x上求一点P，使P到焦点F与到定点A(2,3)的距离之和最小.

1. 如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 （ ）. (A)（1, 0） (B)（2, 0） (C)（3, 0） (D)（－1, 0） 2. 一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ ） m (B)m (C) 4.5m (D) 9m

3. 抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛

物线的方程是

2

2

（ ）.

(A) y 2x (B) y 4x

(C) y 2x (D) y 4x或y 36x 4. 抛物线y

14a

x(a 0)的焦点坐标是 ( ).

2

222

(A) a 0时是(0,a),a 0时是(0 a) (B) a 0时是(0,),a 0时是(0

2a

a2)

(C) (0,a) (D) (,0)

a

1

5. 抛物线y 2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是

2

( ).

(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 32

6. 已知点M为抛物线y2 2x上的一个动点，则点M到点(0,2)的距离与M到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( ).

2

(B) 3

92

7. 已知抛物线y2

32

x的焦点为F，点M1(x1,y1),M2(x2,y2),M3(x3,y3)在抛物线

上，且2x2 x1 x3则有 （ ）.

(A) M1F M2F M3F (B) M1F

2

M2F

2

M3F

2

(C) M1F M3F 2M2F (D) M1F M2F M2F

8. 设斜率为2的直线l过抛物线y2 2px(p 0)的焦点F,且和y轴交于点A，若

OAF(O为坐标原点）的面积为4,则抛物线的方程为 （ ）.

2

（A）y 4x (B) y 8x (C) y 4x (D) y 8x

9. 已知点M在抛物线y 4x上，那么点M到点N(2,1)的距离与点M到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点M的坐标为 .

10. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？.

1. 花坛水池中央有一喷泉，水管高1m ，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为多少米 （精确到整数位）？

2

2

2

22

选修2—1 2.4.1抛物线及其标准方程 （教案）

（第二课时）

【教学目标】:

1. 要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力.

2. 通过解决实际问题,对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育. 【重点】 ：对抛物线定义的进一步理解. 【难点】 ：转化思想的应用.

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第66 页～第67页）

1. 通过预习教材中的例2,你认为当曲线的特征符合我们所学的某种曲线时,应运用

待定系数法 来求出曲线方程.

2. 在建立平面直角坐标系时,应掌握什么基本原则?

建立的坐标系对我们处理问题越简单越好，即坐标要简，未知量要少.

3. 教材中例2的求解过程在建系方面有什么优点?你能不能尝试另外的建系方法来解决该题?尝试后请你谈一下不同的建系方法的得到的结果是否相同?答案是否都正确?

教材在处理例2时把坐标原点健在了抛物线的顶点，得到的是抛物线标准方程也可以以焦点为坐标原点建系，求得的抛物线方程要复杂，但本题的最后结果一样

4. 通过上一节问题的处理,体会到抛物线定义在处理问题时的最大优点就是把抛物线上点到焦点的距离转化成点到准线 的距离.

5. 平面内两点之间直线段最短. 【基础练习】

2

1．抛物线y 2px (p 0 ) 上一点M到焦点的距离是a(a

p2

),则点M到准线

的距离是a , 点M的横坐标是a

p2

.

2

2. 抛物线y 12x上与焦点的距离等于9

的点的坐标是(6,(6,

.

3. 抛物线y 2ax2(a 0)的焦点坐标是(0,【典型例题】

18a

).

例1 点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x 5 0的距离小1，求点M的轨迹方程.

【审题要津】点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x 5 0的距离小1 ,说明点M与点F(4,0)的距离与它到l:x 4 0的距离相等.

解: 设点M的坐标为（x，y），由已知条件可知：点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离，根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4,0）为焦点的抛物线.

所以点的轨迹方程为: y2 16x .

【方法总结】转化思想是解决此类问题的有效方法.

变式1：已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M( 3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值.

解: 因为焦点在x轴上且过M( 3,m)点,所以设标准方程为y2 2px(p 0).由抛物线的定义知

p2

( 3) 5,即p 4.所以所求抛物线标准方程为y 8x,又点M( 3,m)

2

p2

4, p 8.

在抛物线上，于是m2 24, 得:

m

例2 一种卫星接收天线的轴截面如下图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m.建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.

【审题要津】根据题目意思,正确的建立平面直角坐标系,利用待定系数法设出曲线方程,然后根据条件解决.

解: 在接收天线的轴截面所在 平面内建立直角坐标系,使接收天线 的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合.

设抛物线的标准方程是：

y 2px(p 0).由已知条件可得,

2

点A的坐标是(0.5,2.4),代入方程, 得2.4 2p 0.5,即p 5.76.

所以,所求抛物线的标准方程是y 11.52x,焦点坐标是(2.88,0) .

【方法总结】 数形结合，利用所学抛物线知识，把实际问题转化成数学问题.

变式2：一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成,尺寸如图(单位:m).

一辆

2

2

卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3m,车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由.

解: 如图,建立坐标系,则A( 3,3),B(3,

3)

设抛物线方程为x2 2py(p 0),将B点坐标代入,得9 2p 3 , p

32

.所以抛物线方程为x2 3y( 3 y 0).因为车与箱共高4.5m

,所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5m，设抛物线上点D的坐标为(x0, 0.5)，则

2

x0

32

, x0

2

DD 2x0

'

3.

故此车不能通过隧道.

例3 已知M为抛物线 y 2 4 x 上一动点，F为抛物线的焦点，定点P(3,1),则 MP MF的最小值为（ ）.

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

【审题要津】根据抛物线的定义,把M到焦点的距离转化成M到准线的距离,然后过

P(3,1)作准线的垂线交抛物线于M,则M点位所求的点.距离为P(3,1)到准线的距离.

MN, 解：过P作准线l的垂线交抛物线于M，垂足为N，则MP MF

所以最小值为4，故选（B）.

【方法总结】 抛物线中的最小值问题,一般是借助于定义,把动点到两定点的距离和,

转化为定点到抛物线准线的距离.

变式3：在抛物线y 2x上求一点P，使P到焦点F与到定点A(2,3)的距离之和小. 解: 因为点A(2,3)在抛物线外部,连结AF交抛物线于P,则P点为要求的点.

1. 如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 （ A ）. (A)（1, 0） (B)（2, 0） (C)（3, 0） (D)（－1, 0）

2. 一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ B ） m (B)m (C) 4.5m (D) 9m

3. 抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛

物线的方程是

2

2

2

（ B ）.

(A) y 2x (B) y 4x

(C) y2 2x (D) y2 4x或y2 36x 4. 抛物线y

14a

x(a 0)的焦点坐标是 ( C ).

2

(A) a 0时是(0,a),a 0时是(0 a) (B) a 0时是(0,),a 0时是(0

2a

a2)

(C) (0,a) (D) (,0)

a

1

5. 抛物线y2 2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是 ( B ).

(A) 4 (B) 8

(C) 16 (D) 32

6. 已知点M为抛物线y2 2x上的一个动点，则点M到点(0,2)的距离与M到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( A ).

2

(B) 3

92

7. 已知抛物线y

2

32

x的焦点为F，点M1(x1,y1),M2(x2,y2),M3(x3,y3)在抛物线

上，且2x2 x1 x3则有 （ C ）.

(A) M1F M2F M3F (B) M1F

2

M2F

2

M3F

2

(C) M1F M3F 2M2F (D) M1F M2F M2F

8. 设斜率为2的直线l过抛物线y 2px(p 0)的焦点F,且和y轴交于点A，若

OAF(O为坐标原点）的面积为4,则抛物线的方程为 （ B ）.

2

2

（A）y 4x (B) y 8x (C) y 4x (D) y 8x

9. 已知点M在抛物线y 4x上，那么点M到点N(2,1)的距离与点M到抛物线焦

2

2

2

22

1

点距离之和取得最小值时，点M的坐标为(,1) .

4

10. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？.

解：以拱桥的拱顶为原点,以过拱点且平行于水面的直线为x轴,建立直角坐标系,设桥拱抛物线方程为

x 2py(p 0),由题意可知,点B(4 5)在抛物线上,

2

故p

85

,得x2

165

y.当船面两侧和抛物线接触时,

船不能通航,设此时船面宽为AA'则A(2,yA),

由2=-2

165

yA得yA

54

,又知船面露出水面上部分高为

0.75米,所以h=yA 0.75 2米.

所以水面上涨到与抛物线拱顶相距2米时,小船开始不能通航.

1. 花坛水池中央有一喷泉，水管高1m ，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为多少米 （精确到整数位）？

解: 如图建立平面直角坐标系,

设抛物线方程为x 2py(p 0).依题意,有p( 1, 1)

所以p

12

,故抛物线的方程为x y.

2

2

设B(x, 2),则x OB 1

'

.

所以水池直径为21

5(m),

即水池的直径至少应设计为5m.