数值分析试题1参考答案(3)

《数值计算原理》,清华大学数值分析A课程使用教材,课后习题答案(李庆阳 关治 白峰杉 编著,清华大学出版社出版)清华大学出版社,数值计算原理,数值分析,答案,习题,考卷,杨顶辉,作业

设c为任意实数，则

(2) f(cx)

(cx)TQ(cx) c2xTQx

cxTQx cf(x)

下边证明三角等式f(x y) f(x) f(y)成立.

f(x y) (x y)TQ(x y) xTQx yTQy xTQy yTQx xTQx yTQy 2xTQy

因Q对称正定，则Q一定有因子分解形式。

Q BTB

从而xTQy (BxT)(By),于是有

(3)

xTQy (Bx)T(By) (Bx)T(Bx)(By)T(By)代入上面的f(x y)则有

f(x y) xTQx yTQy 2xTBTBxyTBTBy xTQx yTQy 2xTQxyTQy xTQx yTQy f(x) f(y)

所以三角不等式立，f(x) xTQx是x的一种范数

六、

设 为B的任一特征值，u 0为相应的特征向量，则Bu u,从而

uT(A BAB)u uTAu uTBABu

uTAu (Bu)TA(Bu) uTAu ( u)TA( u) (1 2)(uTAu)

因为A BAB和A正定，

故

uT(A BAB)u (1 2)uTAu 01 2 0

即

1, (B) 1

因此此格式对任意初始点x(0)都收敛。