2012年第14期 Computer CD Software and Applications 工程技术

探究二维调和方程的狄利克雷问题的三种解法

余菲

（华南师范大学，广州 510631）

摘 要：对二维调和方程的狄利克雷问题通常有直接用泊松公式或用分离变量法的方法，对比较特殊的边值问题，还可用试探法，大大减少运算。

关键词：泊松公式；分离变量法

中图分类号：O175 文献标识码：A 文章编号：1007-9599 (2012) 14-0027-02

首先对（1）给出一般化的泊松公式，由圆上二维调和方程狄一、基本概念

（一）调和方程（又称拉普拉斯方程）

Du=

¶2u¶2u

+=0 ¶x2¶y2

利克雷问题解的表达式

1

u(r0,q0)=

2p

ò

2p

(R2-r02)f(q)

q

R2-2Rr0cos(q-q0)+r02

该方程在力学、物理学问题中经常碰到，应用十分广泛。 （二）边值问题

为了在空间的某一区域中确定调和方程的解，还必须附加一定定解条件，因现在方程及解u与时间t无关，所以定解条件只有边界条件，此种问题称边值问题。而第一边值问题，即狄利克雷问题为：

在空间（x，y）中某一区域W的边界G上给定了一个连续函数g，要求找出这样的一个函数u（x，y），它在W内是调和函数，在WUG上连续，并在G上与给定的函数g重合：

上述问题的解为：

1

u(r0,q0)=

2p

=+A2p

ò

2p

(R2-r02)(A+Bsinq)

2

R2-2Rr0cos(q-q0)+r0

q

ò

2p

R2-r02

q

R2-2Rr0cos(q-q0)+r02

2p2pöR2-r02æsin(q-q0)cos(q-q0)

çBcosq0òq+Bsinq0òq÷

002pèA+Bcos(q-q0)A0+B0cos(q-q0)ø

=A+=A+

B(R2-r02)sinq0

2p

ò

2p

öA01æ

ç1-÷dq

B0èA0+B0cos(q-q0)ø

2

B(R2-r0)sinq0æ2pA0

-ç

2pBè0B0

ò

2p

ö1

q÷

A0+B0cos(q-q0)ø

=A+

B(R2-r02)sinq0A0Bsinq0

-2p2pB0

ò

2p

R2-r02

qR+r0-2Rr0cos(q-q0)

uG=g

二维调和方程的狄利克雷问题可表示为

=A+

=A+

B(R2-r02)sinq0(R+r02)Bsinq0

--2Rr0-2Rr0

22

(R+r0)Bsinq0-(R2-r0)Bsinq02r02

Bsinq0 =A+

2Rr02Rr0

ì¶2u¶2u

Du=+2=0,x2+y2<R2ï2

¶x¶yí

ïu222=f(q)îx+y=R

其中q是极坐标的极角。 二、问题的提出

（1）

=A+

r0

Bsinq0 R

B

rsinq R

Qu(r,q)=A+

（二）用分离变量法

先对一般情形求出分离变量公式

以问题：求边值问题的解

通过变换x=

rcosq，y=rsinq，则r=把方程化为极坐标下的形式

2¶rx1cos2q

==cosq，¶r=y=sinq，¶r，=-¶xr¶x2rr¶yr

ìx+y<RïDu=0

í

u222=A+Bsinqïx+y=Rî

为例介绍调和方程狄利克雷问题的三种解法 （一）用泊松公式直接求解

222

yq=arctan

x

¶2r1sin2q

=-，¶q2

¶yrr¶x

¶2q2sinqcosq =-¶y2r2

sinq

=-r

，

¶qcosq¶2q2sinqcosq=，2=，¶yr¶xr2

于

R0(0)<+¥得到R0(r)=D0，于是u(r,q)=BD

=

1

a02

3.当l>0时，方程

⑴的通解

为F

(q)=A+B，

其中A，B是任意常数。

¶u¶u¶r¶u¶q=+， ¶x¶r¶x¶q¶x

¶2u¶2uæ¶rö¶u¶2r¶2u¶r¶q¶2uæ¶qö¶u¶2q

=+2+ç÷+ç÷+

¶x¶rè¶xø¶r¶x¶r¶q¶x¶x¶qè¶xø¶q¶x¶2u¶uæ1cos2qö¶2uæsinq2cosq+-+2cosqç-÷¶r¶rèrrø¶r¶qrè

2

22

¶uæ2sinqcosqö ö¶usinq

++÷ç÷r¶qèrø¶qø

由于F(q)是以2p为周期的函数，\l

2

=n2（n=1，2，

2

3……）

\Fn(q)=Ancosnq+Bnsinnq把l=n2代入方程⑵

=

r2R¢¢(r)+rR¢(r)-n2R(r)=0它的解为 Rn(r)=Cnrn+Dnr-n

由于Rn(0)<+¥，Q于

是

¶2u¶2uæ¶rö¶u¶2r¶2u¶r¶q¶2uæ¶qö¶u¶2q

=++2+ ç÷ç÷+¶y2¶r2è¶yø¶r¶y2¶r¶q¶y¶y¶q2è¶yø¶q¶y2

=

¶2u2¶uæ1sin2q

sinq+ç-¶r¶rèrr

ö¶2usinqcosq¶2ucos2q¶uæ2sinqcosqö

++÷+2ç-÷

¶r¶q¶q¶qèrrrøø

2

Dn=0

，

其

中

故圆上二维调和方程狄利克雷问题在极坐标下转化为： 11ì

ïurr+ur+2uqq=0,(0<r<r0)rr í

ïur=r=f(q)

0î

un(r,q)=(ancosnq+bnsinnq)r2

an=AnCn，bn=BnCn

于是有u(r,q)=

¥

1

a0+å(ancosnq+bnsinnq)rn 2n=1

设方程的解为u(r,q)=R(r)F(q)，代入方程

11

R¢¢(r)+F(q)+R¢(r)F(q)+2R(r)F¢¢(q)=0

rr

2

得rR¢¢(r)+rR¢(r)=-F¢¢(q)=l，

由于u(r0,q)=

¥

1

a0+å(ancosnq+bnsinnq)r0n=f(q) 2n=1

R(r)F(q)

由Fourier级数理论知 an=

1

pr0n1pr0n

ìr2R¢¢(r)+rR¢(r)-lR( …… 此处隐藏：3075字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……