不等式恒成立问题的解题策略

[策略诠释]

1．主要类型：不等式恒成立问题中，求参数的取值范围．

2．解题思路：往往采用分离变量或适当变形，或变换主元，或构造函数，再利用函数的单调性或基本不等式进行求解；最值问题常常转化为利用基本不等式求解．

3．注意事项：(1)在不等式的转化过程中要注意不等号的方向．(2)利用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”．

2【典例】 (12分)已知不等式x－ax＋1≥0.

(1)若不等式对于一切x∈(0,2]恒成立，则a的取值范围为________；

(2)若不等式对一切x∈[－2,2]恒成立，则a的取值范围为________；

(3)若不等式对一切a∈[－2,2]恒成立，则x的取值范围为________．

[审题：分析信息，形成思路]

(1)切入点：分离参数求解；

关注点：注意应用基本不等式．

(2)切入点：转化为恒成立问题求解；

关注点：注意对x分类讨论．

(3)切入点：利用函数求解；

关注点：注意自变量．

[解题：规范步骤，水到渠成]

x2＋1x2＋12x(1)原不等式可化为a≤，而≥＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以a的取xxx

值范围是(－∞，2]．(3分)

(2)因为x∈[－2,2]，

2当x＝0时，原式为0－a·0＋1≥0恒成立，此时a∈R；(5分)

当x≠0时，则当x∈(0,2]时，由(1)知a∈(－∞，2]，

x2＋1所以当x∈[－2,0)时，可得a≥， x

x＋11x＋， xx

由函数的单调性可知，f(x)max＝f(－1)＝－2.(8分)

所以a∈[－2，＋∞)，综上可知，a的取值范围是[－2,2]．(9分)

(3)因为a∈[－2,2]，则可把原式看作关于a的函数，

2即g(a)＝－xa＋x＋1≥0，

2 g－＝x＋2x＋1≥0， 由题意可知， 解之得x∈R， 2 gx＝x－2x＋1≥0，

所以x的取值范围是(－∞，＋∞)．(12分) 令f(x)＝2 【答案】 (1)(－∞，2] (2)[－2,2] (3)(－∞，＋∞)

[变题]

21．(2014·武汉市武昌区联考)已知a>b，不等式ax＋2x＋b≥0对一切实数x恒成立．又

a2＋b2

2 x0∈R，使ax0＋2x0＋b＝0成立，则的最小值为( ) a－b

A．1 B.2 C．2 D．2

a2＋b2a－b2＋2ab【解析】 由题知a>0且Δ＝4－4ab＝0，因此ab＝1，＝a－ba－ba－b

22＋2，当且仅当(a－b)＝2时等号成立． a－b

【答案】 D

2．(2014·贵州六校联考)若不等式t＋2a≤2t∈(0,2]上恒成立，则a的取值范t＋9t2t

围是( )

11A．[，1] B．[，2] 66

142C．[，] D．[，1] 61313

t199913t1【解析】 2而y＝t＋在(0,2]上单调递减，故t＋≥2＋＝2t＋99tt22t＋99t＋t＋tt

2t＋212112111t＋212≤(当且仅当t＝2时等号成立)2＝22(＋－.因为≥所以2＋2＝13tttt48t2ttt112122(－t＝2时等号成立)，故a的取值范围为[1]． t4813

【答案】 D