函数定义域、值域的求法

求函数的定义域的基本方法有以下几种：

1.已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况：

整式表达式是任意实数；

分式中的分母不为零；

偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

奇次方根下的数（或式）是任意实数；

零指数幂的底数不等于零；

指数式的底数大于零且不等于一；

对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

例1 函数y log2

2 、求函数f(x)

2x 1的定义域为 3 xx2 5x 6的定义域x 2

3、 求函数y＝3x 2＋0（x 3）

2x 3的定义域

2、抽象函数的定义域的求法。

已知y f(x)的定义域为 m,n ，求y f g(x) 的定义域，可由m g(x) n解出x的范围，即为y f g(x) 的定义域。

例2 （1）已知f(x)的定义域为[-1，1]，求f(2x-1)的定义域。

（2）已知f(2x-1)的定义域为（-1，5］，求函数f(x)的定义域。

（3）已知f(2x-5)的定义域为（-1，5］，求函数f(2-5x)的定义域。

三、逆向型

例3、已知函数y mx2 6mx m 8的定义域为R求实数m的取值范围。 练习：已知函数f(x)

kx 7的定义域是R，求实数k的取值范围。 kx2 4kx 3

巩固练习

1．若函数f(x) 1，则f(x)的定义域为 ( ) log2(2x 1)

C.1 D.1 1( ,0) (0, )( ,2)( , )222 1( A. ,0 ) B.2

2. 函数f(x) 1 lg(x 1)的定义域是 （ ） 1 x

3x2

lg(3x 1)的定义域是 （ ） A．(-∞,-1) B．(1,+∞) C．(-1,1)∪(1,+∞) D．R 3. 函数f(x) x

11111 A．（ ，3） B．(3，3） C．(3，1） D．(3， ）

4

函数y

A.( 的定义域为 ( ) B(3,1) 43,∞) 4 C（1，+∞） D. ( 3,1)∪（1，+∞） 4

5. 已知f(x)=1，则函数f(f(x))的定义域是 ( ) x 1

B．{x|x 2} C．{x|x 1且x 2} D．{x|x 1或x 2} A．{x|x 1}

6.

函数＝y R，则k的取值范围是 （ ）

A.k 0或k 9 B.k 1 C. 9 k 1 D. 0 k 1

7．函数f(x) 3x x2的定义域为 （ ）

3A．[0，2 ] B．[0，3] C．[ 3，0] D．（0，3）

8．若函数f(x)的定义域为[a,b]，且b a 0，则函数g(x) f(x) f( x)的定义域是 （ ）

A．[a,b] B．[ b, a] C．[ b,b] D．[a, a]

9．设I＝R，已知f(x) lg(x2 3x 2)的定义域为F，函数g(x) lg(x 1) lg(x 2)的定义域为G，

那么GUCIF等于 （ ）

A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(1，＋ ∞) D．(1，2)U(2，＋∞)

1 x10．已知函数f(x) lg的定义域为A，函数g(x) lg(1 x) lg(1 x)的定义域为B，1 x

则下述关于A、B的关系中，不正确的为 （ ）

A．A B B．A∪B=B C．A∩B=B D．B ≠A

11．若函数f(x)的定义域为[－2，2]

，则函数f的定义域是 （ ）

A．[－4，4] B．[－2，2] C． [0，2] D． [0，4]

12．已知函数f(x)的定义域为[0，4]，求函数y f(x 3) f(x2)的定义域为 （ ）

A．[ 2, 1] B．[1,2] C．[ 2,1] D．[ 1,2]

－x－3x＋4

13. 函数y＝的定义域为 ( ) x

A．[－4,1] B．[－4,0) C．(0,1] D．[－4,0)∪(0,1]

14. 若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是

( )

A．a＝－1或3 B．a＝－1 C．a > 3或a <－1 D．－1 < a < 3

15. 若函数y=f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)=f 2x 的定义域是 ( ) x 1

A. [0,1] B. [0,1) C. [0,1)∪(1,4] D. (0,1)

a 0)的定义域为D，若所有点

( ) (s,f(t))(s,t D)构成一个正方形区域，则a的值为

A． 2 B． 4 C． 8 D．不能确定

2 x17．已知函数y 2的定义域是R, 则实数a的范围是ax (a 3)x 116. （2009

江西卷理）设函数f(x)

118．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则f(x＋a)·f(x－a) (0＜a＜的定义域是______． 2

21、函数y 1

3 2x x

22的定义域为。 22、函数y＝1的定义域是＿＿＿＿。

23、若函数y f(2x)的定义域为 1,2 ，则f(x)的定义域为。

24、若函数y f(x)的定义域为 0,1 ，则f(x a) f(x a)(其中a 0)的定义域为 。

25. 函数y 1的定义域是.26 x x

值域部分

知识点及方法： 二次函数法；换元法；配方法；判别式法；函数单调性法；反函数法；数形结合法；均值不等式法；用导数知识等

1. 二次函数法（用换元法化为二次函数）

求下列函数的值域

1

2x 2x 4

(3) y y 2cos2x sinx 3 (1) y 2y (5) 设关于x的函数y=2cosx-2acosx-(2a+1)的最小值为f(a).

① 用a写出的f(a)表达式.

② 试确定能使f(a)=

221的a, 并对这个a, 求y的最小值. 2

2(6) 已知函数y=x-2x, x∈[t,t+1],求函数在[t,t+1]上取最小值. (7) 已知点P（a,0）（a∈R）,M是双曲线x

212y 1上的动点, 求｜PM｜的最小值. 4(8) 已知点P是抛物线y=4px(p>0)上动点，Q（1, 0）, 求｜PQ｜的最小值.

2. 函数单调性法

求下列函数的值域

(1) y x 2x2x 2,4

1(x 1)2 1的定义域和值域都为 [1 , b] (b>1) ,求b的值. 2

1a(3) y x ,x [2,4] (4) y x ,(a 0),x [0,1] xx(2) 已知二次函数f(x)

3.反函数法

求下列函数的值域 (1) y 1 x1 x (2) y 2x 52x 5(1 x 2) x2 1cosx(3) y 2 (4) y x 12 sinx

4. 数形结合法

求下列函数的值域

(1)

(3) (2) x2y 2(4) 已知的最大值和最小值. y2 1,求4x 3

(5) 对于任意实数x ,设函数

5.函数的值域与均值不等式

求下列函数的值域或最值 是与x中较小者,求的最大值.

1(1) y x x(x 0) x2 3x 1,(x 1 0) (2) y x 1